2. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Энергия электрического поля — энергия, запасённая в поле заряженных тел. Она появляется потому, что для разделения разноимённых зарядов и создания поля нужно совершить работу. Это понятие позволяет связать свойства поля с затратами энергии на его создание.

Энергия заряженного конденсатора — энергия его электрического поля. Для конденсатора она вычисляется так: W = qU/2 = CU²/2 = q²/(2C), где q — заряд, U — напряжение, а C — ёмкость. Равносильные формулы нужны, чтобы выбирать выражение по данным конкретной задачи.

Объёмная плотность энергии электрического поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля. Она обозначается буквой w и измеряется в Дж/м³. Эта величина показывает, насколько густо энергия распределена в пространстве, а не только какова её полная величина.

Как это устроено

При зарядке конденсатора источник перемещает заряды с одной обкладки на другую. Сначала поле почти отсутствует, поэтому переносить первые порции заряда легко, но затем уже возникшее поле начинает противодействовать дальнейшему разделению зарядов. Источник совершает работу против этого действия, и она не исчезает: работа превращается в энергию электрического поля конденсатора.

Напряжение на заряжающемся конденсаторе не остаётся постоянным. Оно увеличивается от нуля до конечного значения U по мере накопления заряда, поэтому нельзя просто умножить весь заряд q на конечное напряжение. Во время процесса напряжение в среднем равно U/2, и именно поэтому в формуле энергии появляется множитель ½.

Работу можно представить как сумму работ по переносу очень малых порций заряда. Для каждой такой порции напряжение немного отличается, поэтому выполняют интегрирование, то есть складывают бесконечно малые вклады на всём пути зарядки. В результате получают W = qU/2, а после подстановки связи q = CU — формулы W = CU²/2 и W = q²/(2C).

Энергия связана не только с обкладками, но и с полем между ними. В плоском конденсаторе поле внутри зазора можно считать однородным, поэтому энергия распределяется по объёму V этого зазора. Если плотность энергии одинакова во всём объёме, полная энергия равна W = wV.

Для однородного электрического поля плотность энергии определяется формулой w = εε₀E²/2. Здесь E — напряжённость поля, ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Квадрат E означает, что увеличение напряжённости в два раза повышает плотность энергии в четыре раза, если среда не меняется.

Энергия электрического поля: формулы и их применение

Сначала выпишите величины, данные в условии, и проверьте их единицы. Затем выберите строку, в которой указаны именно эти величины, не подставляя лишние параметры без необходимости. Если известны другие характеристики, иногда удобно сначала найти недостающую величину из связи q = CU.

Все три формулы для конденсатора дают один и тот же результат, потому что связаны равенством q = CU. Для поля сначала находят плотность w, а затем умножают её на объём. Следите, чтобы заряд был выражен в кулонах, ёмкость — в фарадах, а объём — в кубических метрах.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ заряжен до напряжения 10 В. Требуется найти энергию его электрического поля. Даны ёмкость и напряжение, поэтому наиболее короткая формула — W = CU²/2.

1. Переводим ёмкость в СИ: C = 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф.
2. Подставляем данные: W = 4·10⁻⁶·10²/2 = 2·10⁻⁴ Дж.
3. Проверяем порядок величины: микрофарады дают небольшую энергию при напряжении 10 В, поэтому результат меньше одного джоуля реалистичен.

Ответ: W = 2·10⁻⁴ Дж.

Задача 2

Ёмкость конденсатора равна 2 мкФ, а его заряд — 6 мкКл. Напряжение в условии не дано, поэтому использовать формулу CU²/2 напрямую нельзя. Выбираем выражение W = q²/(2C), в котором обе известные величины уже присутствуют.

1. Переводим единицы: q = 6·10⁻⁶ Кл, C = 2·10⁻⁶ Ф.
2. Вычисляем: W = (6·10⁻⁶)²/(2·2·10⁻⁶) = 9·10⁻⁶ Дж.
3. Заряд возводим в квадрат целиком, включая степень десяти, иначе результат изменится в миллион раз.

Ответ: W = 9·10⁻⁶ Дж.

Задача 3

Плоский конденсатор заполнен диэлектриком с ε = 3. Напряжённость поля E = 2·10⁵ В/м, объём поля V = 10⁻⁵ м³, ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м. Сначала найдём энергию единицы объёма, а затем энергию всего поля.

1. Находим плотность: w = εε₀E²/2 = 3·8,85·10⁻¹²·(2·10⁵)²/2 = 5,31·10⁻¹ Дж/м³.
2. Умножаем плотность на объём: W = wV = 5,31·10⁻¹·10⁻⁵ = 5,31·10⁻⁶ Дж.
3. Размерность проверяется так: Дж/м³ умножить на м³ — получаются джоули.

Ответ: W = 5,31·10⁻⁶ Дж.

Типичные ошибки

Используют W = qU вместо W = qU/2. Так происходит, если забывают, что конечное напряжение достигается только в конце зарядки. Проверьте себя: если напряжение меняется от нуля до U, среднее значение не может быть равно U.

Путают формулы с q и U. В выражении W = CU²/2 нужен квадрат напряжения, а в W = q²/(2C) — квадрат заряда. Сначала выпишите известные величины и выберите формулу, где они стоят в нужных местах.

Не переводят микрофарады и микрокулоны в СИ. Приставка «микро» означает множитель 10⁻⁶, поэтому пропуск перевода резко искажает ответ. Проверьте, что C выражена в фарадах, а q — в кулонах.

Считают, что при удвоении E энергия удваивается. В формуле w = εε₀E²/2 напряжённость возведена в квадрат. Значит, при увеличении E вдвое плотность энергии возрастает в четыре раза.

Связь с другими темами

Для понимания энергии электрического поля нужны понятия работы электрического поля, электрического заряда, напряжения и ёмкости конденсатора. Эти темы объясняют, откуда берётся работа при разделении зарядов и как связаны заряд с напряжением.

Связь энергии с напряжённостью поля подготавливает изучение энергии электромагнитного поля. Позже это помогает понять, как энергия переносится электромагнитными волнами и распределяется в пространстве.

Что запомнить

• Энергия заряженного конденсатора запасена в его электрическом поле.
• W = qU/2 = CU²/2 = q²/(2C).
• Формулу выбирают по тем величинам, которые известны в задаче.
• Плотность энергии электрического поля измеряется в Дж/м³.
• Для однородного поля w = εε₀E²/2.
• При неизменной среде плотность энергии пропорциональна квадрату напряжённости.