1. Электроёмкость

Определения и обозначения

Электроёмкость проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Буква C обозначает электроёмкость, а сама величина показывает, какой заряд соответствует потенциалу 1 В. Чем больше C, тем больше заряда может иметь проводник при том же потенциале.

Электроёмкость конденсатора — отношение модуля заряда q одной обкладки к напряжению U между обкладками: C = q/U. Конденсатор хранит заряды на двух обкладках, поэтому для расчёта берут заряд только одной из них. Эта формула позволяет связать устройство конденсатора с измеряемыми зарядом и напряжением.

Фарад — единица электроёмкости в СИ: 1 Ф = 1 Кл/В. Ёмкость тела равна 1 Ф, если для изменения его заряда на 1 Кл требуется изменить потенциал на 1 В. На практике чаще встречаются микрофарады, нанофарады и пикофарады.

Как это устроено

Когда проводнику сообщают заряд, его потенциал изменяется: заряженное тело создаёт электрическое поле, а работа по добавлению новых зарядов зависит от уже накопленного заряда. Отношение q/φ показывает не отдельный заряд и не отдельный потенциал, а их связь. Поэтому электроёмкость характеризует способность проводника накапливать заряд при заданном потенциале.

Конденсатор состоит из двух проводников, называемых обкладками, разделённых диэлектриком — веществом, практически не проводящим ток. При подключении источника электроны переходят с одной обкладки на другую, и обкладки получают равные по модулю разноимённые заряды. Эти заряды создают электрическое поле и напряжение между обкладками.

Формула C = q/U использует заряд одной обкладки, потому что заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Суммарный заряд всей пары обкладок равен нулю и не описывает количество накопленного заряда. Ёмкость определяется тем, насколько большой заряд создаёт напряжение 1 В, поэтому важны именно отношение q к U.

Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d, где S — площадь одной обкладки, d — расстояние между обкладками, ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость. При увеличении S поле распределяется на большей площади, поэтому ёмкость растёт. При увеличении d для того же заряда требуется большее напряжение, поэтому ёмкость уменьшается. Диэлектрик ослабляет поле внутри промежутка и позволяет накопить больший заряд при том же напряжении, поэтому ёмкость возрастает в ε раз.

Если известны q и U, ёмкость находят по формуле C = q/U, предварительно переводя величины в единицы СИ. Например, 6 нКл = 6 · 10⁻⁹ Кл, а 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Из той же зависимости получают q = CU: чтобы найти заряд, ёмкость умножают на напряжение.

Электроёмкость проводника и конденсатора

При чтении таблицы сначала определите, о каком объекте говорится: об отдельном проводнике или о системе из двух обкладок. Затем выберите соответствующую формулу и проверьте, какой заряд нужно подставить. В обоих случаях ёмкость измеряется в фарадах, но физический смысл напряжения и заряда различается.

Разбор задач

Задача 1

Заряд проводника q = 6 нКл, потенциал φ = 3 В. Требуется найти его электроёмкость.

1. Используем определение: C = q/φ.
2. Переводим заряд: 6 нКл = 6 · 10⁻⁹ Кл.
3. Подставляем значения: C = (6 · 10⁻⁹)/3 = 2 · 10⁻⁹ Ф.
4. Переводим результат: 2 · 10⁻⁹ Ф = 2 нФ = 2000 пФ.

Ответ: C = 2 нФ. Потенциал взят относительно земли, поэтому его значение можно использовать как φ в определении электроёмкости.

Задача 2

Конденсатор ёмкостью C = 4 мкФ подключён к напряжению U = 12 В. Нужно определить заряд каждой обкладки.

1. Выражаем заряд из формулы C = q/U: q = CU.
2. Подставляем данные: q = 4 мкФ · 12 В = 48 мкКл.
3. Одна обкладка имеет заряд +48 мкКл, другая — −48 мкКл.

Ответ: модуль заряда каждой обкладки равен 48 мкКл. Суммарный заряд двух обкладок равен нулю, но это не означает, что конденсатор не накопил заряд.

Задача 3

Площадь пластин S = 200 см², расстояние d = 1 мм, между пластинами воздух. Затем пространство заполняют диэлектриком с ε = 4.

1. Переводим единицы: S = 200 см² = 0,02 м², d = 0,001 м.
2. Для воздуха принимаем ε ≈ 1 и используем C = ε₀εS/d.
3. Получаем C = 8,85 · 10⁻¹² · 0,02/0,001 ≈ 1,77 · 10⁻¹⁰ Ф = 177 пФ.
4. После заполнения диэлектриком ёмкость увеличится в 4 раза: C₂ = 4C₁ ≈ 7,08 · 10⁻¹⁰ Ф = 708 пФ.

Ответ: воздушный конденсатор имеет ёмкость примерно 177 пФ, а с диэлектриком — примерно 708 пФ. Изменилось только вещество между пластинами, поэтому геометрические параметры остались прежними.

Типичные ошибки

Суммируют заряды обеих обкладок. Так делают, забывая, что заряды противоположны и их алгебраическая сумма равна нулю. Проверка: в C = q/U должен стоять модуль заряда одной обкладки.

Считают, что ёмкость меняется вместе с зарядом. Ошибка возникает из-за буквального чтения формулы: при неизменной конструкции изменение q вызывает такое же изменение U. Проверьте, не менялись ли площадь, расстояние или диэлектрик.

Путают ёмкость с зарядом или напряжением. Эти величины связаны, но имеют разные обозначения и единицы: C измеряется в фарадах, q — в кулонах, U — в вольтах. Полезно выписать формулу и единицы до подстановки.

Не переводят единицы в СИ. Площадь 200 см² нельзя подставлять как 200 м², а 1 мм — как 1 м. Перед расчётом используйте 1 см² = 10⁻⁴ м² и 1 мм = 10⁻³ м.

Связь с другими темами

Для понимания электроёмкости нужны понятия электрического заряда, потенциала и напряжения. Также следует помнить единицы: кулон измеряет заряд, а вольт — напряжение. Без этих связей трудно правильно выбрать формулу и проверить результат.

Электроёмкость используется при изучении последовательного и параллельного соединения конденсаторов. Позже она понадобится для расчёта энергии электрического поля и процессов в цепях с конденсаторами. Формулы C = q/U и q = CU остаются основными при таких расчётах.

Что запомнить

• Электроёмкость проводника характеризует связь его заряда с потенциалом.
• Для конденсатора C = q/U, где q — модуль заряда одной обкладки.
• Единица электроёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Ёмкость плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• Увеличение площади обкладок повышает ёмкость, а увеличение расстояния между ними уменьшает её.
• Диэлектрик между обкладками увеличивает ёмкость в ε раз.