§ 54. Электроёмкость. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Электроёмкость уединённого проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Она измеряется в фарадах (Ф), причём 1 Ф = 1 Кл/В. Величина C показывает, какой заряд нужен проводнику для создания заданного потенциала.

Электроёмкость конденсатора — отношение модуля заряда q одной обкладки к напряжению U между обкладками: C = q/U. Конденсатором называют систему двух проводников, поэтому эта величина характеризует его способность накапливать заряд. Чем больше C, тем больший заряд можно получить при том же напряжении.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных проводящих пластин, разделённых диэлектриком. Площадь каждой пластины обозначим S, а расстояние между ними — d. Диэлектрик — вещество, почти не проводящее электрический ток и изменяющее электрическое поле между пластинами.

Энергия электрического поля конденсатора — это энергия, запасённая при его зарядке; обозначим её W. Она связана с зарядом q, напряжением U и электроёмкостью C. Именно эта энергия может затем совершить работу во внешней цепи при разрядке конденсатора.

Как это устроено

Заряд проводника создаёт вокруг него электрическое поле, а поле связано с потенциалом проводника. Если сообщать проводнику всё больший заряд, его потенциал также изменяется, причём для неизменных формы проводника и окружающей среды эти величины пропорциональны. Поэтому отношение q/φ остаётся постоянным и удобно описывает способность проводника накапливать заряд. Эта способность зависит от размеров и формы проводника, а также от диэлектрических свойств среды.

При зарядке конденсатора электроны переносят с одной обкладки на другую. На первой возникает заряд +q, на второй — −q, поэтому заряды равны по модулю и противоположны по знаку. Между обкладками появляется поле, а напряжение U растёт вместе с модулем заряда: U = q/C. Следовательно, C = q/U показывает постоянную для данного конденсатора связь заряда и напряжения.

Для плоского конденсатора увеличение площади пластин позволяет разместить больше разделённых зарядов при том же напряжении, поэтому ёмкость растёт вместе с S. Увеличение расстояния d ослабляет взаимодействие пластин и уменьшает ёмкость. В результате для однородного диэлектрика получают формулу C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Внесение диэлектрика увеличивает ёмкость в ε раз по сравнению с вакуумом.

Чтобы зарядить конденсатор, источник перемещает заряды против электрического поля, поэтому совершает работу. Эта работа превращается в энергию поля; поскольку напряжение во время зарядки изменяется от нуля до U, среднее напряжение равно U/2. Отсюда W = qU/2 = CU²/2 = q²/(2C). Энергия сосредоточена не на одной из пластин, а в электрическом поле между ними.

Электроёмкость и энергия конденсатора

В таблице сначала выбирают величину, которую нужно найти, а затем формулу с известными данными. Следите за единицами: площадь переводят в м², расстояние — в м, ёмкость — в фарады, а энергию получают в джоулях.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор имеет электроёмкость 4 мкФ и подключён к напряжению 12 В. Найдём модуль заряда каждой обкладки.

1. Используем формулу C = q/U и выразим заряд: q = CU.
2. Переведём ёмкость: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф.
3. Подставим значения: q = 4 · 10⁻⁶ · 12 = 48 · 10⁻⁶ Кл = 48 мкКл.

Ответ: модуль заряда каждой обкладки равен 48 мкКл. Заряды имеют противоположные знаки, поэтому суммарный заряд конденсатора равен нулю.

Задача 2

Площадь пластин увеличили вдвое, а расстояние между ними уменьшили вдвое. Определим изменение ёмкости при неизменном диэлектрике.

1. Запишем зависимость: C = ε₀εS/d.
2. После изменений S стало 2S, а d стало d/2.
3. Тогда C′ = ε₀ε · 2S/(d/2) = 4ε₀εS/d = 4C.

Ответ: электроёмкость увеличилась в 4 раза. Два изменения действуют в одну сторону: увеличение площади даёт множитель 2, а уменьшение расстояния — ещё множитель 2.

Задача 3

Конденсатор ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В. Найдём энергию и выясним, как она изменится при удвоении напряжения.

1. Переведём ёмкость: C = 2 · 10⁻⁶ Ф.
2. Используем W = CU²/2: W = 2 · 10⁻⁶ · 100²/2 = 0,01 Дж.
3. При неизменной C энергия пропорциональна U². При U′ = 2U получаем W′ = C(2U)²/2 = 4W.

Ответ: первоначальная энергия равна 0,01 Дж, а после удвоения напряжения она увеличится в 4 раза и составит 0,04 Дж.

Типичные ошибки

Считать, что электроёмкость зависит от заряда или напряжения. Для данного конденсатора при неизменных геометрии и среде отношение q/U постоянно, а изменяются сами q и U. Проверка: в условии не меняются пластины, расстояние и диэлектрик — значит, C неизменна.

Подставлять в формулу заряд обеих обкладок как суммарный. Заряды равны +q и −q, поэтому берут модуль заряда одной обкладки. Проверка: в формуле C = q/U заряд должен быть положительным числом, а не нулевой суммой зарядов.

Путать ε и ε₀ или забывать про диэлектрик. ε₀ — постоянная, а ε показывает, во сколько раз вещество увеличивает ёмкость относительно вакуума. Проверка: для вакуума ε = 1, а при внесении диэлектрика ёмкость должна возрасти.

Использовать W = qU без множителя 1/2. Во время зарядки напряжение изменяется от нуля до U, поэтому среднее напряжение равно U/2. Проверка: правильные формы одной и той же формулы — W = qU/2, CU²/2 и q²/(2C).

Связь с другими темами

Для изучения электроёмкости нужны понятия электрического заряда, потенциала, напряжения, электрического поля и работы электрических сил. Эти знания объясняют, почему заряженные обкладки создают поле и запасают энергию.

Формулы ёмкости и энергии применяются при расчёте конденсаторных цепей и электронных устройств. Они также нужны при изучении электрических колебаний, где конденсатор периодически обменивается энергией с катушкой индуктивности.

Что запомнить

• Электроёмкость уединённого проводника: C = q/φ.
• Для конденсатора C = q/U, где q — модуль заряда одной обкладки.
• Единица электроёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• Энергия конденсатора W = qU/2 = CU²/2 = q²/(2C).
• Плотность энергии однородного электрического поля w = ε₀εE²/2.