§ 29. Электроёмкость. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Электроёмкость — физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд. Её обозначают C и определяют отношением заряда q к напряжению U: C = q/U. Единица электроёмкости — фарад (Ф), причём 1 Ф = 1 Кл/В; это позволяет сравнивать, какой заряд накапливают разные устройства при одинаковом напряжении.

Конденсатор — устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Он состоит из двух проводников, называемых обкладками, разделённых диэлектриком — веществом, которое не проводит электрический ток. При зарядке на обкладках появляются равные по модулю разноимённые заряды: сколько заряда получает одна, столько же с противоположным знаком получает другая.

Электроёмкость конденсатора определяют через модуль заряда q одной обкладки и напряжение U между обкладками: C = q/U. Для данного конденсатора это отношение остаётся постоянным при изменении заряда и напряжения. Поэтому ёмкость описывает свойства самого устройства, а не то, насколько сильно оно заряжено в данный момент.

Энергия электрического поля конденсатора — энергия, запасённая в нём при зарядке. Она равна работе, совершённой источником при разделении зарядов и их переносе на обкладки. Эту энергию можно вычислить по любой из равносильных формул: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C); подходящая форма зависит от известных в задаче величин.

Как это устроено

Когда источник перемещает заряды на обкладки, на одной накапливается заряд одного знака, а на другой — противоположного. Чем больше уже накопленный заряд, тем сильнее электрическое поле между обкладками и тем больше напряжение, которое нужно преодолеть при переносе следующей порции заряда. Для неизменной геометрии конденсатора напряжение возрастает пропорционально заряду, поэтому отношение q/U остаётся постоянным.

Ёмкость плоского конденсатора вычисляют по формуле C = ε₀εS/d. Здесь S — площадь одной обкладки, d — расстояние между обкладками, ε — относительная диэлектрическая проницаемость материала между ними, а ε₀ — электрическая постоянная. Большая площадь позволяет разместить больше заряда, поэтому ёмкость растёт вместе с S; при большем расстоянии для той же конфигурации ёмкость меньше, поэтому она обратно пропорциональна d.

Если между обкладками находится диэлектрик, его частицы немного смещаются в электрическом поле и поляризуются. Возникающее внутри вещества поле ослабляет поле, создаваемое зарядами на обкладках; при том же заряде напряжение становится меньше. Значит, отношение q/U становится больше: ёмкость возрастает в ε раз по сравнению с вакуумом, и при заданном напряжении конденсатор способен накопить больший заряд.

Зарядка требует работы: источник переносит заряд против действия электрического поля, которое создают уже накопленные заряды. В начале зарядки напряжение близко к нулю, а по мере переноса заряда оно растёт до конечного значения U. Среднее напряжение на протяжении зарядки равно U/2, поэтому работа равна W = q·U/2. Так как q = CU, получаем W = CU²/2; эта работа и запасается в электрическом поле конденсатора.

Остальные формы энергии получают подстановкой связи q = CU. Если заменить в W = CU²/2 напряжение на q/C, выйдет W = q²/(2C); если заменить ёмкость на q/U, получится W = qU/2. Форму CU²/2 удобно выбирать, когда известны ёмкость и напряжение, qU/2 — когда известны заряд и напряжение, а q²/(2C) — когда даны заряд и ёмкость.

Электроёмкость и энергия конденсатора

Сначала определи, какую величину нужно найти, и выпиши данные условия. Затем выбери строку и формулу, в которой известны все величины, кроме искомой. Перед подстановкой переведи значения в СИ: например, микрофарады — в фарады, сантиметры — в метры.

Разбор задач

Заряд по ёмкости и напряжению

Конденсатор имеет электроёмкость 4 мкФ и напряжение 12 В. Найдём модуль заряда на одной обкладке. По определению C = q/U, значит, q = CU; ёмкость должна быть выражена в фарадах, чтобы заряд получился в кулонах.

1. Переведём ёмкость: 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные в q = CU: q = 4·10⁻⁶ Ф · 12 В = 48·10⁻⁶ Кл.
3. Запишем результат в более удобных единицах: 48·10⁻⁶ Кл = 48 мкКл.

Ответ: модуль заряда на каждой обкладке равен 48 мкКл; знаки зарядов противоположны. Проверка единиц подтверждает расчёт: Ф·В = Кл. В формулу подставляется заряд одной обкладки, а не сумма модулей зарядов обеих обкладок.

Ёмкость плоского конденсатора

Площадь пластин равна 200 см², расстояние между ними — 1 мм, а относительная диэлектрическая проницаемость вещества равна 3. Требуется найти ёмкость. Используем C = ε₀εS/d, предварительно переведя длины в метры, поскольку ε₀ задана в единицах СИ.

1. Переведём площадь: 200 см² = 200·10⁻⁴ м² = 0,020 м². Расстояние: 1 мм = 0,001 м.
2. Подставим значения, взяв ε₀ ≈ 8,85·10⁻¹² Ф/м: C = 8,85·10⁻¹² · 3 · 0,020 / 0,001 Ф.
3. Вычислим: C ≈ 5,31·10⁻¹⁰ Ф = 0,531 нФ.

Ответ: электроёмкость приблизительно равна 5,3·10⁻¹⁰ Ф. В формуле S — площадь одной пластины, а не суммарная площадь двух обкладок. Если оставить сантиметры или миллиметры без перевода, результат будет неверным.

Энергия и заряд конденсатора

Конденсатор ёмкостью 10 мкФ заряжен до 100 В. Нужно найти энергию поля и заряд, а затем определить энергию при удвоении напряжения, если ёмкость не меняется. Здесь удобно применять W = CU²/2 и q = CU: обе формулы используют известные C и U.

1. Переведём ёмкость: C = 10 мкФ = 1·10⁻⁵ Ф.
2. Найдём энергию: W = 1·10⁻⁵ · 100² / 2 Дж = 0,05 Дж.
3. Найдём заряд: q = 1·10⁻⁵ · 100 Кл = 1·10⁻³ Кл = 1 мКл.
4. При удвоении напряжение станет 200 В. Тогда W₂ = C·200²/2 = 0,20 Дж, то есть энергия увеличится в четыре раза.

Ответ: W = 0,05 Дж, q = 1 мКл; при напряжении 200 В энергия равна 0,20 Дж. Четырёхкратное увеличение следует из зависимости W от квадрата U при постоянной C. Заряд при этом возрастает только вдвое, поскольку q = CU.

Типичные ошибки

Ошибка: считать электроёмкость равной заряду. Заряд q измеряется в кулонах, а ёмкость C — в фарадах и определяется отношением q/U; путаница возникает из-за того, что обе величины связаны с накоплением зарядов. Проверь себя по формуле и единицам: если напряжение не учтено, найденный заряд нельзя называть ёмкостью.

Ошибка: подставлять площадь в сантиметрах или расстояние в миллиметрах в формулу C = ε₀εS/d. Формула с ε₀ требует единиц СИ, а перевод площади особенно легко упустить: 1 см² = 10⁻⁴ м². Перед расчётом запиши отдельно S в м² и d в м и проверь, что площадь относится к одной пластине.

Ошибка: считать, что ёмкость конденсатора меняется вслед за зарядом или напряжением. Обычно для данного устройства C задаётся его размерами и диэлектриком, а при изменении q пропорционально меняется U. Проверь себя: вычисли q/U для двух состояний одного конденсатора — отношение должно совпасть, если его устройство и материал не менялись.

Ошибка: записывать энергию как W = CU² вместо W = CU²/2. Коэффициент 1/2 появляется потому, что напряжение растёт от нуля до конечного значения во время зарядки, поэтому работа не равна произведению всего заряда на конечное напряжение. Для проверки выведи формулу через среднее напряжение U/2 или подставь данные в другую равносильную форму энергии.

Связь с другими темами

Для изучения электроёмкости нужны понятия электрического заряда и напряжения, а также представление о работе электрического поля. При вычислениях важно знать единицы СИ для электрических величин и уметь переводить кратные и дольные единицы. Работа источника при зарядке связывает тему энергии конденсатора с уже изученной работой электрических сил.

Конденсаторы используют в электрических цепях, в том числе при изучении переходных процессов — изменений тока и напряжения со временем. Их способность запасать энергию электрического поля позволяет временно накапливать её и затем отдавать цепи. Поэтому формулы ёмкости и энергии помогают понимать работу реальных электрических устройств.

Что запомнить

• Электроёмкость определяется отношением заряда к напряжению: C = q/U.
• Единица электроёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• Электроёмкость зависит от устройства конденсатора и диэлектрика, а не от заряда на обкладках.
• Энергия конденсатора равна W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).
• При неизменной ёмкости энергия пропорциональна квадрату напряжения.