§ 54. Электроёмкость. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Электроёмкость проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Потенциал характеризует состояние электрического поля в точке, где находится проводник. Электроёмкость показывает, какой заряд соответствует данному потенциалу, и измеряется в фарадах: 1 Ф = 1 Кл/В.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть вещества, которое плохо проводит электрический ток. Проводники называют обкладками конденсатора. Они получают равные по модулю разноимённые заряды: если на одной обкладке заряд +q, на другой — −q.

Электроёмкость конденсатора — отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Здесь U — разность потенциалов обкладок. Эта величина помогает связать заряд, который накопил конденсатор, с напряжением на нём.

Энергия электрического поля — энергия, запасённая в поле конденсатора при его зарядке. Её можно вычислить как W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Три записи равносильны, а удобную выбирают по тем величинам, которые известны в задаче.

Как это устроено

Когда проводнику сообщают заряд, его потенциал меняется: одноимённые заряды отталкиваются, и добавление новых зарядов требует изменения электрического поля. Для данного проводника заряд и потенциал растут пропорционально, поэтому их отношение остаётся постоянным. Это отношение и называют электроёмкостью. Оно зависит от размеров и формы проводника, а также от окружающей среды, потому что всё это влияет на создаваемое поле.

Если разнести два проводника и сообщить им противоположные заряды, между ними возникает электрическое поле. Противоположные заряды на близких обкладках усиливают поле в промежутке, а снаружи поля в значительной степени компенсируются. Поэтому поле сосредоточено преимущественно между обкладками, и такая система может накапливать заряд. При неизменных форме, расстоянии и диэлектрике увеличение заряда вызывает пропорциональное увеличение напряжения, так что C = q/U остаётся постоянной.

У плоского конденсатора увеличение площади S обкладок позволяет разместить больше заряда при том же напряжении, поэтому ёмкость растёт. Если увеличить расстояние d, поле при том же заряде создаёт большее напряжение, и ёмкость уменьшается. Диэлектрик поляризуется в электрическом поле: смещение связанных зарядов ослабляет поле внутри него и позволяет накопить больше заряда при прежнем напряжении. Эти зависимости выражает формула C = εε₀S/d, где ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, ε₀ — электрическая постоянная, S — площадь одной обкладки, d — расстояние между обкладками.

При зарядке конденсатора источник перемещает заряды и совершает работу. Эта работа запасается в электрическом поле между обкладками. По мере зарядки напряжение растёт от нуля до конечного значения U, поэтому нельзя считать, что весь заряд перемещался сразу при конечном напряжении: работа не равна qU. Для линейного роста напряжения среднее напряжение во время зарядки равно U/2, откуда энергия W = qU/2.

Подставляя в выражение энергии связи q = CU, получаем W = CU²/2. Если вместо этого выразить напряжение как U = q/C, получится W = q²/(2C). Значит, при известных ёмкости и напряжении удобна первая форма, при известных заряде и напряжении — вторая, а при известных заряде и ёмкости — третья. Все варианты описывают одну и ту же энергию поля.

Основные величины и соотношения для проводника и конденсатора

Сначала определите, о каком объекте идёт речь: для отдельного проводника используют потенциал, а для конденсатора — напряжение между обкладками. Затем выберите строку, соответствующую искомой величине, и проверьте единицы измерения. Для расчётов с плоским конденсатором площадь и расстояние необходимо выразить в единицах СИ.

Разбор задач

Заряд по ёмкости и напряжению

Условие. Конденсатор ёмкостью 4 мкФ заряжен до напряжения 12 В. Найдите заряд одной обкладки. Искомый заряд связан с ёмкостью и напряжением формулой C = q/U.

1. Выразим заряд: q = CU. Это подходящая формула, потому что заданы ёмкость и напряжение.
2. Переведём ёмкость в фарады: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Подставим значения: q = 4 · 10⁻⁶ · 12 = 48 · 10⁻⁶ Кл.
3. Запишем результат в микрокулонах: 48 · 10⁻⁶ Кл = 48 мкКл. Проверка единиц даёт Ф · В = Кл.

Ответ: модуль заряда одной обкладки равен 48 мкКл; заряды обкладок противоположны по знаку.

Ёмкость плоского конденсатора

Условие. Площадь обкладок равна 200 см², расстояние между ними — 1 мм, а относительная диэлектрическая проницаемость вещества ε = 3. Найдите ёмкость. Для ответа применим формулу плоского конденсатора, предварительно переведя данные в СИ.

1. Переведём площадь: 200 см² = 200 · 10⁻⁴ м² = 0,02 м². Расстояние равно d = 1 мм = 0,001 м.
2. Используем C = εε₀S/d, где ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м. Подстановка даёт C = 3 · 8,85 · 10⁻¹² · 0,02/0,001.
3. Вычислим: C ≈ 5,31 · 10⁻¹⁰ Ф. Это примерно 531 пФ, поскольку 1 пФ = 10⁻¹² Ф.

Ответ: электроёмкость конденсатора приблизительно равна 5,3 · 10⁻¹⁰ Ф, или 531 пФ.

Энергия после изменения расстояния

Условие. Конденсатор ёмкостью 5 мкФ зарядили до 100 В, отключили от источника и увеличили расстояние между обкладками вдвое. Найдите новую энергию, считая, что между обкладками вакуум. После отключения заряд сохраняется, поэтому нельзя считать напряжение неизменным.

1. Найдём первоначальный заряд: q = CU = 5 · 10⁻⁶ · 100 = 5 · 10⁻⁴ Кл. Отключение от источника означает, что этот заряд останется на обкладках.
2. Для плоского конденсатора C обратно пропорциональна расстоянию. При увеличении расстояния вдвое новая ёмкость C₂ = 2,5 мкФ = 2,5 · 10⁻⁶ Ф.
3. Используем W = q²/(2C₂), так как известны сохраняющийся заряд и новая ёмкость. Получаем W = (5 · 10⁻⁴)²/(2 · 2,5 · 10⁻⁶) = 0,05 Дж.

Ответ: новая энергия электрического поля равна 0,05 Дж.

Типичные ошибки

Ошибка — считать электроёмкость самим зарядом или напряжением. Так путают величину с тем, как она определяется: C — это отношение, а не одна из величин в отношении. Проверка: у ёмкости единица фарад, равная кулону на вольт, тогда как у заряда — кулон, а у напряжения — вольт.

Иногда думают, что ёмкость меняется при изменении заряда или напряжения. Это происходит из-за того, что оба значения могут измениться при зарядке, но для данного конденсатора их отношение остаётся постоянным. Чтобы проверить себя, убедитесь, что не менялись форма и размеры обкладок, расстояние между ними и диэлектрик.

Подстановка площади в см² или расстояния в миллиметрах в формулу C = εε₀S/d приводит к ошибке в единицах и результате. Причина — в формуле используются величины в СИ: площадь в м², расстояние в м. Перед вычислением переведите единицы и проверьте размерность: итоговая ёмкость должна быть выражена в фарадах.

Запись W = CU² без деления на 2 завышает энергию вдвое, потому что напряжение нарастает при зарядке от нуля до U. Другая ошибка — считать напряжение постоянным после отключения от источника: в таком случае сохраняется заряд, а напряжение может измениться. Проверьте множитель 1/2 и выясните, подключён ли конденсатор к источнику, прежде чем выбирать формулу энергии.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в электроёмкости, нужно знать, что такое электрический заряд, потенциал и напряжение: именно эти величины входят в формулы C = q/φ и C = q/U. Для понимания энергии поля также пригодится представление о работе электрического поля, поскольку при зарядке конденсатора источник совершает работу. Эти знания связывают свойства поля с измеряемыми величинами.

Электроёмкость и энергия конденсатора используются при изучении электрических цепей и соединения конденсаторов. В цепях конденсаторы накапливают заряд и могут отдавать энергию другим элементам. Поэтому важно учитывать, сохраняется ли заряд или напряжение при изменении условий.

Что запомнить

• Электроёмкость проводника: C = q/φ.
• Электроёмкость конденсатора: C = q/U.
• Ёмкость заданного конденсатора определяется его геометрией и диэлектриком, а не зарядом и напряжением.
• Для плоского конденсатора: C = εε₀S/d.
• Энергия поля: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).
• После отключения конденсатора от источника его заряд сохраняется; при подключённом источнике сохраняется напряжение.