§ 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенное для накопления заряда и энергии электрического поля. Проводники называют обкладками, а изолирующий слой между ними не даёт зарядам сразу соединиться. Конденсаторы используют там, где нужно временно запасти заряд или энергию.

Электроёмкость — физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к напряжению между его обкладками: C = q/U. Она показывает, какой заряд может накопить конденсатор при напряжении 1 В. При неизменной конструкции C остаётся постоянной, а q и U изменяются согласованно.

Фарад — единица электроёмкости в СИ. Ёмкость равна 1 Ф, если заряд 1 Кл создаёт между обкладками напряжение 1 В. На практике чаще встречаются микрофарады, нанофарады и пикофарады.

Энергия электрического поля конденсатора — энергия, запасённая при его зарядке: W = CU²/2 = qU/2. Она появляется потому, что внешние силы совершают работу, разделяя положительные и отрицательные заряды. Эту энергию можно получить обратно при разрядке конденсатора.

Как это устроено

При зарядке конденсатора на одной обкладке накапливается заряд +q, а на другой — −q. Напряжение между обкладками создаётся электрическим полем и растёт вместе с зарядом. Для данной конструкции связь линейна: q = CU, поэтому коэффициентом пропорциональности служит электроёмкость. Если изменить материал или размеры конденсатора, изменится и этот коэффициент.

У плоского конденсатора ёмкость определяется формулой C = εε₀S/d. Увеличение площади S позволяет разместить больше связанных зарядов при том же напряжении, поэтому C растёт. При увеличении расстояния d поле создаётся на большем промежутке, и для того же заряда требуется большее напряжение, поэтому C уменьшается. Диэлектрик с относительной проницаемостью ε усиливает способность системы накапливать заряд, увеличивая ёмкость в ε раз.

При параллельном соединении обкладки всех конденсаторов подключены к одним и тем же узлам цепи. Поэтому напряжение на каждом одинаково, а общий заряд равен сумме зарядов: qобщ = q₁ + q₂ + … . Отсюда общая ёмкость равна сумме: Cобщ = C₁ + C₂ + … . Такое соединение увеличивает площадь условных обкладок и потому увеличивает ёмкость.

При последовательном соединении конденсаторы образуют одну цепочку. На каждом из них по модулю накапливается одинаковый заряд, а общее напряжение складывается: Uобщ = U₁ + U₂ + … . Поэтому 1/Cобщ = 1/C₁ + 1/C₂ + …, и общая ёмкость получается меньше самой маленькой. Это объясняется тем, что один и тот же заряд распределяется по нескольким участкам, создающим суммарное напряжение.

Во время зарядки внешние силы переносят всё новые порции заряда против электрического поля. В начале напряжение почти равно нулю, а к концу достигает U, поэтому среднее напряжение при равномерном накоплении заряда равно U/2. Работа внешних сил, а значит и энергия конденсатора, равна W = qU/2 = CU²/2. При постоянной ёмкости энергия растёт как квадрат напряжения и находится в электрическом поле между обкладками.

Основные величины и формулы для конденсатора

Сначала выпишите известные величины и приведите их к единицам СИ. Затем выберите формулу, в которой есть нужная величина и данные из условия. Для соединений отдельно определите, одинаковы ли напряжения или заряды.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор заряжен до напряжения 12 В, его заряд равен 24 мкКл. Найдём электроёмкость. Заряд переведём в кулоны: 24 мкКл = 24 · 10⁻⁶ Кл.

1. Используем определение: C = q/U.
2. Подставим значения: C = (24 · 10⁻⁶ Кл)/12 В = 2 · 10⁻⁶ Ф.
3. Переведём результат в более удобные единицы: 2 · 10⁻⁶ Ф = 2 мкФ.

Ответ: электроёмкость конденсатора равна 2 мкФ. Проверка показывает, что при умножении этой ёмкости на 12 В получается исходный заряд 24 мкКл.

Задача 2

Площадь обкладок плоского конденсатора равна S, расстояние между ними — d, а относительная диэлектрическая проницаемость заполнителя — ε. Требуется определить ёмкость и выяснить, что произойдёт при увеличении расстояния вдвое.

1. Для плоского конденсатора записываем формулу: C = εε₀S/d.
2. Величины S, d и ε уже входят в неё, поэтому C = εε₀S/d.
3. Если расстояние станет 2d, получим C₁ = εε₀S/(2d) = C/2.

Ответ: исходная ёмкость равна εε₀S/d, а при увеличении расстояния вдвое она уменьшится в два раза. Это соответствует обратной пропорциональности C расстоянию между обкладками.

Задача 3

Конденсатор ёмкостью 100 мкФ зарядили до напряжения 20 В. Нужно найти заряд и энергию электрического поля. Переведём ёмкость: 100 мкФ = 100 · 10⁻⁶ Ф = 10⁻⁴ Ф.

1. Находим заряд по формуле q = CU: q = 10⁻⁴ Ф · 20 В = 2 · 10⁻³ Кл.
2. Переводим заряд: 2 · 10⁻³ Кл = 2 мКл.
3. Находим энергию: W = CU²/2 = (10⁻⁴ · 20²)/2 Дж = 2 · 10⁻² Дж.

Ответ: q = 2 мКл, W = 0,02 Дж. Вторая величина зависит от квадрата напряжения, поэтому при проверке нельзя забывать возвести 20 В в квадрат.

Типичные ошибки

Путать электроёмкость с зарядом — значит считать характеристику устройства самим накопленным зарядом. Ошибка возникает из-за похожих обозначений и связи q = CU. Проверьте себя: ёмкость измеряется в фарадах и зависит от конструкции, а заряд — в кулонах и меняется при зарядке.

Формулы соединений нельзя менять местами. При параллельном соединении одинаково напряжение и складываются ёмкости, при последовательном одинаков заряд и складываются обратные ёмкости. Нарисуйте узлы цепи и проверьте, подключены ли конденсаторы к одной паре точек.

Запись W = CU/2 неверна: в ней не хватает ещё одного множителя напряжения. Энергия равна W = CU²/2, потому что заряд q сам равен CU. Проверьте также единицы: Ф · В² даёт джоули.

Подстановка сантиметров или микрометров в формулу C = εε₀S/d без перевода искажает результат. Все длины и площадь нужно выразить в метрах и квадратных метрах. Перед вычислением выпишите приставки: 1 мкм = 10⁻⁶ м, 1 см = 10⁻² м.

Связь с другими темами

Для изучения электроёмкости нужны понятия заряда, напряжения, работы электрического поля, энергии и единиц СИ. Тема напрямую связана с электрическим полем, потенциалом и разностью потенциалов: напряжение определяет работу поля при переносе заряда.

Полученные формулы применяются при изучении цепей постоянного тока и переходных процессов, когда конденсатор заряжается или разряжается не мгновенно. Конденсаторы также используются в радиотехнике, фильтрах, источниках питания и электронных устройствах.

Что запомнить

• Электроёмкость определяется отношением заряда к напряжению: C = q/U.
• Электроёмкость зависит от размеров проводников, их расположения и свойств диэлектрика.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d.
• При параллельном соединении складываются ёмкости, а напряжение на всех конденсаторах одинаково.
• При последовательном соединении одинаков заряд, а общее напряжение складывается.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).