§ 54. Электроёмкость. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Электроёмкость — физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к напряжению между его обкладками: C = q/U. Она показывает, какой заряд может накопить конденсатор при данном напряжении. Единица электроёмкости — фарад, обозначается Ф.

Конденсатор — система двух проводников, разделённых диэлектриком, то есть веществом, почти не проводящим электрический ток. Такая конструкция позволяет разделить разноимённые заряды и создать между проводниками электрическое поле. Конденсаторы используют для накопления заряда и энергии.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических обкладок. Площадь обкладок S показывает размер их обращённых друг к другу поверхностей, d — расстояние между ними, а ε — относительную диэлектрическую проницаемость вещества между обкладками. Эти параметры определяют ёмкость: C = ε₀εS/d.

Энергия электрического поля — энергия, запасённая заряженным конденсатором и его полем. Она появляется потому, что для разделения зарядов и зарядки конденсатора требуется работа. Эту энергию можно затем передать внешней цепи.

Как это устроено

При подключении конденсатора к источнику электроны перемещаются с одной обкладки на другую. На одной обкладке возникает избыток электронов и заряд −q, на другой — такой же по модулю недостаток электронов и заряд +q. Равенство модулей объясняется тем, что заряд не создаётся из ничего: электроны только перераспределяются между обкладками. Между разноимёнными зарядами возникает электрическое поле.

Электроёмкость определяется не тем, сколько заряда уже перенесено, а устройством самого конденсатора. Если геометрия и диэлектрик не меняются, увеличение заряда сопровождается пропорциональным увеличением напряжения, поэтому отношение q/U остаётся постоянным. Так C характеризует способность конструкции накапливать заряд, а q и U описывают её состояние в данный момент.

Для плоского конденсатора поле между достаточно большими обкладками можно считать почти однородным. Напряжённость поля и напряжение связаны соотношением E = U/d, а поле заряженной обкладки создаётся поверхностной плотностью заряда q/S. С учётом влияния диэлектрика эти зависимости приводят к формуле C = ε₀εS/d. Значит, большая площадь позволяет накопить больше заряда, увеличение расстояния ослабляет взаимодействие обкладок, а диэлектрик увеличивает ёмкость.

При последовательном соединении соседние обкладки соединены друг с другом, поэтому на каждом конденсаторе по модулю накапливается один и тот же заряд, а общее напряжение складывается. Отсюда 1/Cэкв = 1/C₁ + 1/C₂ + … . При параллельном соединении все конденсаторы подключены к одним и тем же узлам, поэтому напряжение на них одинаково, а общий заряд складывается: Cэкв = C₁ + C₂ + … .

Во время зарядки электрическое поле совершает работу по переносу зарядов. Напряжение растёт от нуля до конечного значения U, поэтому среднее напряжение при зарядке равно U/2, а энергия равна W = qU/2. Используя q = CU, получают равносильные формулы W = CU²/2 и W = q²/(2C). Эта энергия распределена в электрическом поле, а не сосредоточена только на металлических обкладках.

Электроёмкость, соединения конденсаторов и энергия поля

Таблица помогает выбрать формулу по типу соединения и известным величинам. В графе о сохранении указано, какая физическая величина одинакова для элементов или складывается. Перед вычислениями приведите все значения к единицам СИ.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор имеет заряд 6 мкКл и напряжение 12 В. Нужно найти электроёмкость и энергию. Заряд переведём в СИ: q = 6·10⁻⁶ Кл. Для энергии удобно использовать формулу W = qU/2.

1. Находим ёмкость: C = q/U = 6·10⁻⁶/12 = 0,5·10⁻⁶ Ф = 0,5 мкФ.
2. Подставляем данные в формулу энергии: W = 6·10⁻⁶ · 12 / 2 Дж.
3. Получаем W = 36·10⁻⁶ Дж = 36 мкДж.

Ответ: C = 0,5 мкФ, W = 36 мкДж. Проверка размерности: Кл/В даёт фарады, а Кл·В — джоули.

Задача 2

Плоский конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием d заполнили диэлектриком с относительной проницаемостью ε. Нужно определить изменение ёмкости. Предполагаем, что площадь и расстояние остались прежними, а пространство между обкладками заполнено полностью.

1. До внесения диэлектрика C₀ = ε₀S/d, поскольку для воздуха можно принять ε ≈ 1.
2. После внесения вещества C = ε₀εS/d.
3. Делим новое значение на старое: C/C₀ = ε.

Ответ: электроёмкость увеличилась в ε раз. Например, при ε = 4 новая ёмкость в четыре раза больше первоначальной.

Задача 3

Конденсаторы 3 мкФ и 6 мкФ подключены к источнику напряжением 12 В сначала последовательно, затем параллельно. Найдём общий заряд и энергию системы в каждом случае. Для всей системы используем Q = CэквU и W = CэквU²/2.

1. При последовательном соединении 1/Cэкв = 1/3 + 1/6 = 1/2 мкФ⁻¹, поэтому Cэкв = 2 мкФ. Тогда Q = 2·12 = 24 мкКл, W = 2·10⁻⁶·12²/2 = 144 мкДж.
2. При параллельном соединении Cэкв = 3 + 6 = 9 мкФ, так как напряжение на обоих конденсаторах одинаково.
3. Получаем Q = 9·12 = 108 мкКл и W = 9·10⁻⁶·12²/2 = 648 мкДж.

Ответ: последовательно Q = 24 мкКл, W = 144 мкДж; параллельно Q = 108 мкКл, W = 648 мкДж. Большая ёмкость параллельной системы объясняет большую энергию при том же напряжении.

Типичные ошибки

Путать электроёмкость с зарядом. Заряд — состояние конденсатора, а ёмкость — характеристика его конструкции. Проверьте себя: если напряжение изменилось, заряд может измениться, а C останется прежней.

Считать, что ёмкость всегда меняется при зарядке. При неизменных размерах и диэлектрике зарядка изменяет q и U пропорционально, но не их отношение. Изменение C означает изменение геометрии или вещества между обкладками.

Неверно применять формулы соединения. Для последовательного соединения складываются обратные ёмкости, для параллельного — сами ёмкости. Нарисуйте узлы цепи и спросите себя, одинаковы ли напряжения или заряды.

Использовать W = qU без множителя 1/2. Это произведение соответствовало бы постоянному напряжению, а при зарядке оно растёт от нуля до U. Поэтому среднее напряжение равно U/2, и правильная формула — W = qU/2.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия электрического заряда, напряжения, работы электрического поля, потенциальной энергии и единиц СИ. Они объясняют, откуда берутся q, U и энергия конденсатора.

Дальше электроёмкость используется при расчёте цепей постоянного тока с конденсаторами, а также переходных процессов и RC-цепей. Конденсатор в таких цепях не просто хранит заряд, а влияет на время изменения тока и напряжения.

Следующие темы связывают эту энергию с плотностью электрического поля, свойствами диэлектриков и работой электромагнитных устройств. Формула плотности энергии показывает, как запас энергии зависит от напряжённости поля и среды.

Что запомнить

• Электроёмкость определяется отношением заряда к напряжению: C = q/U.
• Единица электроёмкости — фарад.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• При параллельном соединении ёмкости складываются.
• При последовательном соединении складываются величины, обратные ёмкостям.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).
• Энергия заряженного конденсатора заключена в его электрическом поле.