"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Закон Кулона позволяет находить силу взаимодействия точечных зарядов, а принцип суперпозиции — поле, создаваемое несколькими зарядами. Для решения задач нужно учитывать величины и знаки зарядов, расстояния до точки наблюдения и среду, в которой находятся заряды. Напряжённости и силы складываются как векторы: их направления определяют по расположению и знакам зарядов, а результат находят с помощью проекций, симметрии или теоремы Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон Кулона задаёт модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов: F = k|q₁q₂|/(εr²). Здесь q₁ и q₂ — заряды, r — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Закон нужен, чтобы по численным данным найти силу и понять, зависит ли она от вакуума или вещества.
Напряжённость электрического поля — векторная величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к этому заряду: E = F/q. Она показывает, насколько сильно поле действует в каждой точке и куда направлено это действие. Единица напряжённости — ньютон на кулон, Н/Кл.
Принцип суперпозиции электрических полей утверждает, что поле нескольких зарядов равно векторной сумме полей, создаваемых каждым зарядом отдельно: E = E₁ + E₂ + … Это позволяет разбить сложную задачу на несколько простых вычислений. После этого учитывают направления всех полученных векторов.
Точечный заряд — модель заряженного тела, размерами которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Такую модель используют, если расстояния между телами намного больше их размеров или форма тела несущественна. Благодаря этому заряд считают расположенным в одной точке и применяют простые формулы.
По закону Кулона модуль силы прямо пропорционален произведению модулей зарядов: увеличение одного заряда в несколько раз во столько же раз увеличивает силу. Расстояние входит в знаменатель в квадрате, поэтому при увеличении r в два раза сила уменьшается в четыре раза. В среде действие слабее, чем в вакууме, если её относительная диэлектрическая проницаемость ε больше единицы.
Поле нескольких зарядов нельзя находить простым сложением модулей, потому что каждый заряд действует в своём направлении. Например, два одинаковых поля могут быть направлены навстречу и полностью компенсироваться. Поэтому по принципу суперпозиции складывают именно векторы, а обычные числа используют только для коллинеарных векторов, направленных одинаково или противоположно.
Направление поля точечного заряда удобно определять по пробному положительному заряду. Положительный источник отталкивал бы такой заряд, поэтому E направлен от него, а отрицательный притягивал бы его, поэтому E направлен к нему. Сила, действующая на отрицательный помещённый заряд, имеет направление, противоположное вектору напряжённости.
Если векторы не лежат на одной прямой, их раскладывают на составляющие по выбранным осям. Сначала находят Ex и Ey у каждого поля, затем складывают проекции: Eₓ = ΣEₓᵢ и Eᵧ = ΣEᵧᵢ. Модуль результата вычисляют по теореме Пифагора: E = √(Eₓ² + Eᵧ²), если оси перпендикулярны.
Симметрия сокращает вычисления, потому что симметричные заряды создают равные по модулю поля. Одни составляющие при этом складываются, а другие направлены в противоположные стороны и исчезают в сумме. Перед вычислениями полезно отметить на рисунке все векторы и проверить, какие из них связаны симметрией.
В таблице собраны основные ситуации, с которыми встречаются при решении задач. Сначала выберите подходящую строку, затем определите модули величин и их направления. Если векторы не совпадают по направлению, используйте сложение по координатам или геометрические свойства фигуры.
| Ситуация | Основная формула | Что складывается | Как определить направление |
|---|---|---|---|
| Взаимодействие двух точечных зарядов | F = k|q₁q₂|/(εr²) | Силы не складываются: рассматривается одна пара | Одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются |
| Сила, действующая на заряд в поле | F = qE | При нескольких источниках сначала складываются напряжённости | При q > 0 направление F совпадает с E, при q < 0 противоположно |
| Поле одного точечного заряда | E = k|q|/(εr²) | Один вектор напряжённости | От положительного заряда и к отрицательному |
| Поле нескольких точечных зарядов | E = E₁ + E₂ + … | Векторы напряжённости или их проекции | Каждый вектор направляют по своему источнику |
| Симметричное расположение зарядов | E = ΣEᵢ, часто E = √(Eₓ² + Eᵧ²) | Равные и симметричные составляющие | Одинаковые направления усиливаются, противоположные компенсируются |
Заряды q₁ = 2 мкКл и q₂ = −3 мкКл находятся в вакууме на расстоянии r = 0,30 м. Требуется найти модуль силы и определить характер взаимодействия.
Ответ: F = 0,60 Н; заряды притягиваются.
Слева расположен заряд q₁ = +4 нКл, справа — q₂ = −4 нКл. Точка находится посередине, на расстоянии 0,10 м от каждого заряда. Найдём результирующую напряжённость в вакууме.
Ответ: E = 7,2·10³ Н/Кл, направление — от положительного заряда к отрицательному.
Три одинаковых положительных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Найдём силу, действующую на заряд в одной вершине, со стороны двух остальных.
Ответ: модуль результирующей силы равен √3kq²/a²; она направлена по биссектрисе выбранной вершины наружу из треугольника.
Складывают модули напряжённостей без направлений. Так поступают, когда воспринимают E как обычное число. Проверьте рисунок: если векторы не сонаправлены, складывайте их проекции или применяйте правило сложения векторов.
Берут не то расстояние. В формулу иногда подставляют расстояние между двумя зарядами, хотя поле ищут в отдельной точке. Для каждого слагаемого нужно измерить расстояние именно от соответствующего источника до этой точки.
Путают силу и напряжённость. В формуле E = F/q заряд означает пробный заряд, а не обязательно источник поля. После нахождения E силу на конкретный заряд вычисляют отдельно: F = qE.
Ошибаются со знаками зарядов. Неверный знак меняет направление взаимодействия, хотя в формуле для модуля используются модули зарядов. Сначала определите: одноимённые заряды отталкиваются или разноимённые притягиваются, и только потом складывайте векторы.
Для применения закона Кулона нужны представления о заряде, электрическом поле, силе и векторах. Без правил сложения векторов невозможно правильно найти поле, создаваемое несколькими источниками. Поэтому перед решением полезно повторить проекции и теорему Пифагора.
Метод суперпозиции позволяет рассчитывать поля систем точечных зарядов и заряженных тел. Он используется, когда действие каждого источника можно рассмотреть отдельно, а затем объединить результаты. Это связывает простую задачу о двух зарядах с моделями более сложных электрических систем.
Те же идеи понадобятся при изучении электрического потенциала и конденсаторов. Для потенциала складывают уже не векторы, а скалярные величины, что упрощает вычисления. При переходе к распределённым зарядам сумма заменяется интегрированием, но принцип построения решения остаётся похожим.
Почему напряжённости нельзя складывать как обычные числа?
Напряжённость является вектором: у неё есть не только модуль, но и направление. Поэтому сначала определяют направления полей, а затем складывают векторы или их проекции.
Как определить направление напряжённости поля точечного заряда?
От положительного заряда вектор напряжённости направлен от заряда, а к отрицательному — к заряду. Направление рассматривают от источника поля к точке, где вычисляют напряжённость.
Чем сила взаимодействия зарядов отличается от напряжённости электрического поля?
Сила характеризует действие поля на конкретный заряд и зависит от этого заряда: F = qE. Напряжённость описывает само поле в точке и не зависит от пробного заряда.
Что делать, если заряды расположены не на одной прямой?
Нужно изобразить направления сил или напряжённостей, выбрать оси и разложить векторы на составляющие. Затем складывают отдельно проекции по каждой оси и находят модуль и направление результата.
Когда при решении задачи можно использовать симметрию?
Симметрию используют, когда заряды и точки расположены так, что некоторые векторы имеют равные модули. Их одинаковые составляющие складываются, а противоположные могут взаимно уничтожиться.
§ 55. Применение закона Кулона и принципа суперпозиции полей
