"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Электрическое поле точечных зарядов можно рассчитывать с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции. Закон Кулона связывает силу взаимодействия зарядов с их величинами, расстоянием и свойствами среды. Напряжённость показывает, какая сила действовала бы на единичный положительный пробный заряд. Для системы зарядов поле находят сложением векторных вкладов каждого источника, учитывая их направления и симметрию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон Кулона описывает силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов: F = k|q₁q₂|/(εr²). Здесь r — расстояние между зарядами, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, а сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Закон нужен, чтобы находить модуль электрической силы и сравнивать влияние расстояния и величины зарядов.
Напряжённость электрического поля — векторная величина E = F/q₀, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к величине этого заряда. Пробный заряд выбирают достаточно малым, чтобы он почти не изменял исследуемое поле. Напряжённость показывает не силу на конкретный заряд, а свойства поля в выбранной точке.
Принцип суперпозиции электрических полей утверждает, что напряжённость поля нескольких зарядов равна векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым зарядом отдельно: E = E₁ + E₂ + … . Это правило позволяет разбить сложную систему на простые источники. Затем отдельные результаты объединяют с учётом направлений.
Результирующая напряжённость — это вектор поля в выбранной точке после сложения вкладов всех источников. Её модуль показывает действие поля, а направление — куда стала бы двигаться положительная пробная частица. Именно результирующий вектор используют в окончательном ответе задачи.
Чтобы найти напряжённость поля точечного заряда Q, мысленно помещают на расстоянии r положительный пробный заряд q₀. По закону Кулона сила на него равна F = k|Qq₀|/(εr²), а после деления на q₀ получают E = k|Q|/(εr²). Пробный заряд сокращается из формулы, поэтому напряжённость определяется источником, расстоянием и средой, но не величиной измерительного заряда.
Поле точечного заряда направлено радиально, потому что кулоновская сила действует вдоль прямой, соединяющей два заряда. Для положительного источника сила на положительный пробный заряд направлена от источника, а для отрицательного — к нему. В выбранной точке достаточно провести мысленную линию к заряду и выбрать направление от него или к нему по знаку источника.
Для нескольких источников сначала рассматривают каждый заряд отдельно, словно остальных нет. Для каждого находят модуль Eᵢ = k|Qᵢ|/(εrᵢ²) и направление. Затем векторы складывают, потому что действие полей одновременно не заменяет одно поле другим, а складывается с ним.
Если напряжённости направлены вдоль одной прямой, удобно выбрать положительное направление оси и записать каждый вклад со знаком. Одинаково направленные векторы складываются, противоположно направленные — вычитаются по модулям. При неколлинеарных векторах используют правило параллелограмма или раскладывают каждый вектор на проекции Ex и Ey, после чего находят E = √(Ex² + Ey²).
В характерных точках системы сначала выбирают оси и отмечают направления отдельных полей. Между зарядами знаки источников могут привести как к усилению, так и к ослаблению поля, поэтому нельзя заранее складывать модули. На перпендикулярном биссекторе симметричные горизонтальные компоненты часто компенсируются, а одинаково направленные вертикальные компоненты складываются.
| Случай | Вклад в напряжённость | Направление | Как получить результирующее поле |
|---|---|---|---|
| Поле одного точечного заряда | E = k|Q|/(εr²) | Радиально от заряда или к нему | Вклад уже является результирующим полем |
| Положительный заряд-источник | E = kQ/(εr²), Q > 0 | От источника | Сложить с полями остальных зарядов как вектор |
| Отрицательный заряд-источник | E = k|Q|/(εr²), Q < 0 | К источнику | Учесть противоположное направление вклада |
| Несколько зарядов на одной прямой | Eᵢ = k|Qᵢ|/(εrᵢ²) | Вдоль одной оси | Сложить алгебраически с учётом знаков проекций |
| Несколько зарядов с неколлинеарными полями | Для каждого найти свой вектор Eᵢ | Под разными углами | Сложить геометрически или по проекциям |
Сначала по таблице определяют вклад каждого источника и его направление, а не только числовой модуль. Затем выбирают способ сложения: алгебраический для одной прямой или векторный для произвольных направлений. В конце проверяют единицы: напряжённость измеряется в Н/Кл.
Условие. Два точечных заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r. Требуется найти модуль силы взаимодействия и определить, притягиваются они или отталкиваются. Среда характеризуется относительной проницаемостью ε.
Ответ: F = k|q₁q₂|/(εr²); одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
Условие. Заряды Q₁ и Q₂ расположены на одной прямой, а точка наблюдения находится между ними на расстояниях r₁ и r₂. Нужно найти напряжённость в этой точке. Знаки зарядов определяют, будут ли отдельные поля направлены одинаково или противоположно.
Ответ: напряжённость находят сложением проекций E = E₁ + E₂ с их знаками; направление задаётся знаком результата.
Условие. Два одинаковых положительных заряда q расположены симметрично в точках (−a, 0) и (a, 0). Найдём поле в точке (0, h) на перпендикулярном биссекторе. Расстояние от каждого заряда до точки равно R = √(a² + h²).
Ответ: E = 2kqh/(ε(a² + h²)√(a² + h²)); поле направлено вверх, если точка расположена выше отрезка, соединяющего заряды.
Складывание модулей без направлений. Ошибка возникает, когда числовые значения считают самостоятельным ответом. Поля являются векторами, поэтому одинаковые и противоположные направления дают разные результаты. Проверьте себя рисунком или знаками проекций.
Путаница с отрицательным пробным зарядом. Иногда направление поля принимают за направление силы на отрицательный заряд. По определению поле направлено как сила на положительный пробный заряд, поэтому для отрицательного частица будет испытывать силу в обратную сторону. Мысленно замените пробный заряд положительным.
Неверное расстояние в задаче о поле системы. В формулу для вклада каждого источника подставляют расстояние от этого заряда до точки наблюдения, а не расстояние между самими зарядами. Ошибка появляется из-за смешения закона силы и расчёта поля. Для каждого вклада отдельно обозначьте своё rᵢ.
Пропуск квадрата расстояния или ошибки в единицах. Закон Кулона содержит r², поэтому увеличение расстояния в два раза уменьшает вклад в четыре раза. Переводите сантиметры и микрокулоны в единицы СИ до вычислений. Оцените порядок результата и проверьте размерность.
Для понимания темы нужны электрический заряд, закон Кулона и правила изображения направления электрических сил. Без этих понятий трудно определить модуль и направление вклада отдельного источника.
При сложении полей используются векторы, их проекции и теорема Пифагора. Эти навыки особенно необходимы, когда заряды расположены не на одной прямой.
Принцип суперпозиции продолжает работать для распределённых зарядов, где отдельные вклады суммируются уже непрерывно. Он также связан с вычислением электрического потенциала, который является скалярной величиной.
Почему для расчёта поля пробный заряд не включают в число источников поля?
Пробный заряд используют только для измерения поля: он должен быть настолько малым, чтобы не изменять расположение и состояние источников. Поэтому напряжённость характеризует поле создающих зарядов, а не самого пробного заряда.
Как определить направление напряжённости от отрицательного заряда?
Напряжённость направлена к отрицательному заряду. Это направление силы, которая действовала бы на положительный пробный заряд, помещённый в выбранную точку.
Когда модули напряжённостей можно складывать или вычитать напрямую?
Так делают, когда все векторы лежат на одной прямой. Модули складывают для одинаковых направлений, а при противоположных направлениях из большего модуля вычитают меньший.
Что делать, если напряжённости от зарядов направлены под углом друг к другу?
Нужно сложить векторы геометрически или разложить их на взаимно перпендикулярные проекции. Затем складывают проекции по каждой оси и находят модуль и направление результирующего вектора.
Как симметрия расположения зарядов упрощает расчёт поля?
Симметрия позволяет заранее увидеть равные компоненты, направленные в противоположные стороны. Они компенсируются, поэтому остаются только компоненты, направленные одинаково.
§ 55. Применение закона Кулона и принципа суперпозиции полей
