§ 55. Применение закона Кулона и принципа суперпозиции полей

Определения и обозначения

Закон Кулона утверждает, что два точечных заряда взаимодействуют с силой, модуль которой F = k|q₁q₂|/r². Здесь q₁ и q₂ — заряды, r — расстояние между ними, а k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² — коэффициент для вакуума. Формула позволяет найти величину силы, а знаки зарядов помогают установить, притягиваются они или отталкиваются.

Напряжённость электрического поля — силовая характеристика поля, равная отношению силы F, действующей на положительный пробный заряд, к величине этого заряда: E = F/q₀. Она имеет не только модуль, но и направление; единица измерения — Н/Кл. По напряжённости можно сравнивать действие разных полей, не привязываясь к конкретному пробному заряду.

Принцип суперпозиции электрического поля гласит: результирующая напряжённость равна векторной сумме напряжённостей, созданных каждым зарядом отдельно. Например, для двух источников E = E₁ + E₂. Это правило нужно, когда поле создаёт не один заряд, а целая система.

Точечный заряд — модель заряженного тела, размерами которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Такая модель применима, когда расстояния до других объектов намного больше размеров тела или когда важна только внешняя картина поля. Благодаря этому сложное тело можно описывать зарядом, сосредоточенным в одной точке.

Как это устроено

Закон Кулона описывает взаимодействие именно двух точечных зарядов: в формуле присутствуют только их величины и расстояние между ними. Если размеры тел существенны, расстояние между отдельными участками зарядов неодинаково, поэтому одной подстановки в формулу недостаточно. Зависимость от произведения зарядов объясняет усиление взаимодействия при увеличении любого из них, а квадрат расстояния в знаменателе — быстрое ослабление силы при удалении.

Чтобы найти напряжённость поля одного заряда Q на расстоянии r, можно разделить силу на пробный заряд q₀. Подстановка закона Кулона даёт E = k|Q|/r²: величина q₀ сокращается, поэтому характеристика не зависит от выбранного пробного заряда. Направление определяют по тому, куда действовала бы сила на положительный пробный заряд: от положительного источника и к отрицательному.

Поля складываются векторно, потому что сила, действующая на пробный заряд, тоже имеет направление. Если источники создают поля в одну сторону, модули можно сложить; если в противоположные — нужно вычесть меньший из большего и указать направление результата. При произвольном угле между векторами простое сложение модулей неверно: сначала находят проекции на выбранные оси.

Удобно решать задачу поэтапно: сначала выбрать точку, где требуется найти поле, затем определить расстояние от каждого источника именно до этой точки. Для каждого заряда отдельно вычисляют модуль Eᵢ = k|qᵢ|/rᵢ² и задают направление вектора. После этого строят схему и складывают векторы либо их проекции, не забывая привести заряды и расстояния к единицам СИ.

Симметрия может показать, что некоторые вклады равны по модулю. Если такие векторы направлены противоположно, они взаимно компенсируются; если сонаправлены — усиливают друг друга. Поэтому перед вычислениями полезно проверить расположение зарядов относительно точки: симметрия иногда сразу задаёт направление результирующего поля или позволяет отбросить попарно сокращающиеся вклады.

Закон Кулона и принцип суперпозиции при расчёте электрического поля

Сначала определите, что требуется найти: силу между парой зарядов или напряжённость поля в точке. Для системы зарядов рассчитайте отдельные вклады по столбцу «Поле одного заряда», а затем примените суперпозицию. Таблица напоминает, что формулы похожи, но описывают разные физические величины.

Разбор задач

Задача 1. Два точечных заряда 2 нКл и 6 нКл находятся на расстоянии 30 см. Найдём модуль силы и выясним характер взаимодействия. Знаки зарядов в условии не указаны, поэтому направление взаимодействия можно определить только условно.

1. Переведём данные в СИ: q₁ = 2·10⁻⁹ Кл, q₂ = 6·10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м.
2. Подставим модули зарядов в закон Кулона: F = 9·10⁹·(2·10⁻⁹)(6·10⁻⁹)/(0,30)² = 1,2·10⁻⁶ Н.
3. Сравним знаки: при одинаковых знаках заряды отталкиваются, при противоположных — притягиваются.

Ответ: модуль силы равен 1,2·10⁻⁶ Н; характер взаимодействия зависит от знаков зарядов.

Задача 2. Поля двух зарядов находятся в точке на одной прямой, причём заряды расположены по разные стороны от неё. Числовые значения зарядов и расстояний не заданы, поэтому запишем общий способ расчёта. Направление каждого вклада зависит от знака соответствующего источника.

1. Обозначим расстояния до точки r₁ и r₂, а заряды источников — q₁ и q₂. Вычислим E₁ = k|q₁|/r₁² и E₂ = k|q₂|/r₂².
2. Для каждого вектора установим направление: от положительного заряда и к отрицательному. На одной прямой векторы либо сонаправлены, либо направлены противоположно.
3. Если векторы сонаправлены, E = E₁ + E₂; если противоположны, E = |E₁ − E₂|, а направление результата совпадает с направлением большего вклада.

Ответ: напряжённость равна сумме или разности модулей согласно направлениям; для численного значения нужны заряды и расстояния.

Задача 3. Три заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Требуется определить поле в одной вершине от двух остальных. Поскольку величины и знаки зарядов не заданы, выразим результат через вклады E₁ и E₂; угол между соответствующими направлениями учитывается при сложении.

1. Пусть сторона треугольника равна a. До искомой вершины каждый из двух источников находится на расстоянии a, поэтому E₁ = k|q₁|/a² и E₂ = k|q₂|/a².
2. Нанесём направления векторов по знакам зарядов. Угол между ними определяется геометрией треугольника и тем, направлены ли векторы к источникам или от них.
3. Разложим векторы на горизонтальную и вертикальную проекции и сложим одноимённые проекции: Eₓ = E₁ₓ + E₂ₓ, Eᵧ = E₁ᵧ + E₂ᵧ. Модуль результата равен √(Eₓ² + Eᵧ²).

Ответ: поле задаётся суммой проекций; для численного ответа нужны значения и знаки зарядов, а также длина стороны. При равных вкладах симметрия позволяет сразу определить, какие проекции взаимно уничтожаются.

Типичные ошибки

Подставляют расстояние между зарядами вместо расстояния от каждого заряда до точки, где ищут поле. Ошибка возникает потому, что в законе Кулона действительно встречается расстояние между двумя взаимодействующими зарядами, но при расчёте поля источником является каждый отдельный заряд, а второй объект — выбранная точка. Проверка: для каждого источника отдельно отметьте отрезок до точки наблюдения и используйте его длину.

Складывают модули напряжённостей без учёта направлений. Так можно поступить только для сонаправленных векторов, иначе результат будет завышен или направлен неверно. Перед вычислением нарисуйте стрелки; если они лежат на одной прямой, проверьте, требуется сложение или вычитание.

Неверно направляют поле: от положительного заряда оно направлено наружу, а к отрицательному — внутрь. Путаница появляется, когда мысленно рассматривают отрицательный пробный заряд, хотя направление напряжённости задают по силе на положительный. Проверка: представьте небольшой положительный заряд в искомой точке и определите, куда его потянет или оттолкнёт источник.

Забывают возвести расстояние в квадрат или смешивают нКл, мкКл и Кл. Это меняет результат на порядки, поэтому оценка ответа становится бессмысленной. Перед подстановкой переведите длину в метры, заряд — в кулоны, проверьте показатель степени у r² и отдельно пересчитайте степени десяти.

Связь с другими темами

Для работы с полями нужны знания об электрическом заряде, законе Кулона, напряжённости и сложении векторов. Применение суперпозиции позволяет рассчитывать поле систем зарядов и выяснять, при каких условиях заряд может находиться в равновесии: суммарная сила на него должна быть равна нулю.

Тот же принцип используют при изучении поля распределённых зарядов, проводников и конденсаторов. Сложные системы можно рассматривать как набор отдельных вкладов, если известны их поля и допустимо применить соответствующую модель источника.

Что запомнить

• Сила взаимодействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
• Напряжённость поля показывает силу, действующую на единичный положительный пробный заряд.
• Поле положительного заряда направлено от заряда, а поле отрицательного — к заряду.
• Результирующая напряжённость равна векторной сумме напряжённостей от всех зарядов.
• Вклад каждого заряда рассчитывают отдельно по закону Кулона.
• При расчётах учитывают симметрию и складывают одноимённые проекции векторов.
• Все расстояния и заряды перед вычислениями приводят к единицам СИ.