2. График зависимости координаты от времени

Определения и обозначения

Координата тела x — его положение на выбранной координатной оси. Если тело находится по направлению оси от её начала, координата положительна; если с противоположной стороны — отрицательна, а в начале координат равна нулю. Это обозначение нужно, чтобы указать положение тела числом и описывать его изменение во времени.

График зависимости координаты от времени — линия, показывающая, как меняется координата тела x с течением времени t. Каждая точка линии соответствует определённому моменту и координате тела. По графику удобно видеть движение целиком, а не только отдельные значения.

Начальная координата x₀ — координата тела в начальный момент наблюдения. На графике её находят при t = 0, то есть в месте пересечения графика с вертикальной осью. Она нужна, чтобы задать, откуда начинается рассматриваемое движение.

Проекция скорости vₓ определяет изменение координаты за единицу времени. Для равномерного движения она связана с наклоном прямой графика: по двум точкам можно сравнить изменение координаты с прошедшим временем. Знак проекции показывает, в какую сторону относительно оси движется тело.

Как это устроено

Сначала выбирают координатную ось и систему отсчёта, затем отмечают на горизонтальной оси время t, а на вертикальной — координату x. Для каждой пары значений (t, x) ставят точку: её положение по горизонтали задаёт время, по вертикали — координату. Масштаб каждой оси выбирают так, чтобы значения можно было удобно и точно считывать; деления на осях могут иметь разные шаги.

При равномерном движении за любые равные промежутки времени координата изменяется на одинаковую величину. Поэтому её зависимость от времени линейна и записывается формулой x = x₀ + vₓt. На графике линейной зависимости получается прямая: постоянное изменение координаты за единицу времени означает, что наклон линии не меняется.

Чтобы найти начальную координату, проследите график до значения t = 0 и считайте соответствующую координату по вертикальной оси. Это и есть пересечение с осью координат, а не с осью времени. Если начало осей попало на график, то x₀ = 0; если линия пересекает вертикальную ось выше или ниже начала, начальная координата соответственно положительна или отрицательна.

Наклон прямой показывает, насколько быстро меняется координата: чем больше её изменение за один и тот же промежуток времени, тем больше модуль проекции скорости. Если при увеличении t график поднимается, координата растёт и vₓ > 0; если опускается, координата уменьшается и vₓ < 0. Поэтому одной крутизны недостаточно: для знака скорости важно, в какую сторону направлен наклон.

По графику можно описывать не только скорость. Горизонтальная линия означает неизменную координату, следовательно, тело покоится относительно выбранной оси. Пересечение линии с осью времени соответствует x = 0, то есть прохождению начала координат. Если пересеклись графики двух тел, в этот момент их координаты равны; вывод о встрече верен, когда оба графика относятся к одной оси и одной системе отсчёта.

Как это устроено

На схеме показаны графики координаты трёх тел. По направлению и крутизне прямых можно сравнить проекции их скоростей, а горизонтальный график соответствует постоянной координате. Пересечение графиков первого и второго тел показывает момент равенства координат.

Как читать график координаты от времени

Таблица помогает быстро связать характерные элементы графика с движением тела. Сначала определите, какие оси и масштаб использованы, затем примените соответствующую строку. Для пересечения двух линий проверьте, что сравниваются координаты в один и тот же момент времени.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется по закону x = 2 + 3t. Построить график за первые 4 с и определить начальную координату и проекцию скорости.

1. Сравним закон движения x = 2 + 3t с формулой равномерного движения x = x₀ + vₓt. Свободный член 2 задаёт координату при t = 0, а коэффициент при t — изменение координаты за секунду.
2. Подставим несколько значений времени: при t = 0 с x = 2 м, при t = 1 с x = 5 м, при t = 2 с x = 8 м. Для построения до 4 с продолжим таблицу: при t = 3 с x = 11 м, при t = 4 с x = 14 м.
3. На координатной плоскости отметим точки (0; 2), (1; 5), (2; 8), (3; 11), (4; 14) и проведём через них прямую. Они лежат на одной прямой, поскольку за каждую секунду координата увеличивается на 3 м.

На графике при t = 0 координата равна 2 м, значит, x₀ = 2 м. За 1 с координата возрастает на 3 м, поэтому vₓ = 3 м/с; положительный знак согласуется с возрастающей прямой. Ответ: x₀ = 2 м, vₓ = 3 м/с; график проходит через указанные точки.

Задача 2. По графику движения тела определить, когда оно проходит начало координат и какова его координата через 5 с.

1. Начало координат соответствует x = 0, поэтому ищем на графике точку, где линия пересекает горизонтальную ось времени. По делениям этой оси считываем соответствующий момент t.
2. Чтобы найти координату через 5 с, находим на горизонтальной оси значение t = 5 с и проводим взгляд вверх или вниз до графика. Затем считываем координату точки по вертикальной оси, учитывая её масштаб и знак.
3. Сверяем оба результата с делениями: время пересечения должно быть отмечено на оси t, а значение x через 5 с — на оси координат. Если линия проходит через узлы сетки, считывание особенно прямое; между делениями оценку делают по масштабу.

Численные ответы зависят от конкретного графика, поэтому без его изображения их нельзя назвать. Ответ: время прохождения начала координат — значение t в точке пересечения графика с осью времени; координата через 5 с — значение x на графике при t = 5 с.

Задача 3. Два тела движутся по законам x₁ = 1 + 2t и x₂ = 7 − t. Построить графики и найти момент и координату встречи.

1. Для первого тела выберем несколько значений: при t = 0 координата 1, при t = 2 — 5, при t = 4 — 9. Для второго тела получаем: при t = 0 координата 7, при t = 2 — 5, при t = 4 — 3. По точкам проводим две прямые.
2. Точка пересечения графиков задаёт общий момент, когда координаты одинаковы. Алгебраически это условие записывается как x₁ = x₂, поэтому приравниваем выражения: 1 + 2t = 7 − t.
3. Переносим слагаемые: 3t = 6, откуда t = 2 с. Подставляем это значение в любой закон движения: x₁ = 1 + 2 · 2 = 5 м; проверка по второму закону даёт x₂ = 7 − 2 = 5 м.

Обе координаты совпали в один момент, значит, тела встречаются при движении по одной оси. На построенных графиках пересечение должно находиться в точке (2 с; 5 м), что подтверждает расчёт. Ответ: момент встречи — 2 с, координата встречи — 5 м.

Типичные ошибки

Координату путают с пройденным путём, потому что обе величины связаны с движением. Но путь не бывает отрицательным, а координата зависит от выбора начала и направления оси и может иметь любой знак. Проверка: выясните, спрашивают ли положение тела или длину пройденного участка.

Иногда считают, что наклон прямой всегда означает положительную скорость, принимая слово «наклон» за подъём. Знак vₓ зависит от изменения координаты при движении вправо по оси времени: график может как подниматься, так и опускаться. Чтобы проверить знак, сравните x в двух точках, расположенных последовательно по времени.

Начальную координату принимают за начальную скорость, потому что обе величины обозначаются с индексом и фигурируют в одном законе движения. Однако x₀ — положение при t = 0, а vₓ показывает изменение координаты за единицу времени. Проверка проста: x₀ измеряется в метрах и считывается на вертикальной оси при t = 0, скорость — в метрах в секунду.

Пересечение двух графиков автоматически считают встречей тел, не проверяя условия задачи. Оно показывает равенство координат только в один момент, а для встречи тела должны двигаться по одной оси и быть описаны в общей системе отсчёта. Проверьте подписи и смысл графиков, а затем убедитесь, что у точки пересечения одно общее значение времени.

Связь с другими темами

Для чтения графика нужно уметь задавать координатную ось, выбирать начало отсчёта и направление, а также находить координаты точек. Закон равномерного движения x = x₀ + vₓt связывает начальное положение и скорость с координатой в произвольный момент; график представляет этот закон наглядно. По его наклону можно найти скорость как изменение координаты за время. Такой способ анализа пригодится при изучении графиков скорости и ускорения и при сравнении движения нескольких тел.

Что запомнить

• По горизонтальной оси графика откладывают время, по вертикальной — координату.
• При равномерном прямолинейном движении график координаты — прямая.
• При t = 0 координата равна начальной координате x₀.
• Наклон прямой характеризует проекцию скорости.
• Возрастающий график соответствует положительной проекции скорости, убывающий — отрицательной.
• Горизонтальный график означает, что координата не меняется и тело покоится.
• Точка пересечения графиков тел показывает момент, когда их координаты равны.