2. График зависимости координаты от времени

Определения и обозначения

Координата тела — величина, задающая положение тела относительно выбранной системы отсчёта. Обычно её обозначают x и измеряют в метрах, но нужно указать координатную ось и её положительное направление. Без этого знак координаты и направление движения нельзя истолковать однозначно.

График зависимости координаты от времени — изображение того, как координата тела меняется с течением времени. Его записывают как график x(t), где каждому моменту соответствует своё значение x. Такой график позволяет увидеть характер движения без перебора всех положений тела.

Начальная координата — координата тела в момент начала отсчёта времени. Она обозначается x₀ и читается на графике при t = 0. Это значение показывает, откуда тело начало движение относительно выбранного начала координат.

Скорость характеризует изменение координаты за единицу времени. На графике x(t) скорость определяется наклоном прямой: v = Δx/Δt. По её знаку устанавливают направление движения, а по модулю — быстроту изменения координаты.

Как это устроено

Для построения графика выбирают две взаимно перпендикулярные оси: время откладывают по горизонтали, а координату — по вертикали. Такое расположение удобно потому, что время обычно рассматривают как величину, от которой зависит положение тела. Каждая нанесённая точка имеет две координаты: момент времени и положение тела в этот момент.

При равномерном прямолинейном движении за одинаковые промежутки времени координата изменяется на одинаковую величину. Поэтому зависимость записывается формулой x = x₀ + vt, где x₀ задаёт исходное положение, а произведение vt — изменение координаты за время t. Постоянное изменение на единицу времени приводит к постоянному наклону графика, поэтому он имеет вид прямой.

Если прямая поднимается слева направо, координата увеличивается, значит, скорость положительна. Если она опускается, координата уменьшается, а скорость отрицательна: тело движется против положительного направления оси. Чем сильнее прямая отклонена от горизонтали, тем больше изменение координаты за тот же промежуток времени и тем больше модуль скорости.

Горизонтальный участок получается тогда, когда за некоторое время координата остаётся одной и той же. Следовательно, тело не меняет положения относительно системы отсчёта и его скорость равна нулю. Смена наклона означает, что скорость изменилась, например тело стало двигаться быстрее, медленнее или изменило направление.

Чтобы найти координату в заданный момент, отыскивают это время на горизонтальной оси и считывают соответствующее значение по вертикальной. Время достижения заданной координаты находят обратным способом: от значения x идут к графику, а затем к оси времени. Перемещение на интервале равно разности конечной и начальной координат, то есть Δx = x₂ − x₁.

Как читать график координаты от времени

Сначала определите, что отложено на каждой оси и каковы единицы измерения. Затем рассмотрите выбранный участок графика и сопоставьте его форму с таблицей. Для вычисления скорости берите две точки одного прямого участка, чтобы результат не зависел от случайной погрешности считывания.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Тело движется по закону x = 2 + 3t. Постройте график при 0 ≤ t ≤ 4 и определите координату тела при t = 2 с. Для построения достаточно получить несколько точек и соединить их прямой.

1. Составим таблицу: при t = 0 получаем x = 2, при t = 1 — x = 5, при t = 2 — x = 8, при t = 3 — x = 11, при t = 4 — x = 14.
2. Нанесём точки (0; 2), (1; 5), (2; 8), (3; 11), (4; 14) на координатную плоскость и проведём через них прямую.
3. Для заданного момента можно сразу подставить t = 2 в формулу: x = 2 + 3 · 2 = 8 м.

Ответ: график — прямая через указанные точки; при t = 2 с координата тела равна 8 м.

Задача 2

Условие. По графику координаты от времени определите начальную координату тела и скорость на прямолинейном участке. Числа считывают с осей, поэтому сначала нужно выбрать две хорошо различимые точки этого участка.

1. Проведём мысленно вертикаль из точки t = 0 к графику и считываем координату. Это значение есть x₀.
2. Выберем точки (t₁; x₁) и (t₂; x₂) на прямом участке, не обязательно соседние.
3. Вычислим скорость по формуле v = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁). Знак результата проверим по направлению наклона прямой.

Ответ: начальная координата равна значению графика при t = 0, а скорость находится по формуле v = Δx/Δt с учётом единиц измерения.

Задача 3

Условие. Два тела движутся по законам x₁ = −4 + 2t и x₂ = 8 − t. Постройте графики и найдите момент и координату встречи. Встреча означает, что в один и тот же момент тела имеют одинаковые координаты.

1. Для первого тела отметим начальную координату −4 и наклон вверх, равный 2 м/с. Для второго тела отметим начальную координату 8 и наклон вниз, равный −1 м/с.
2. Алгебраически найдём пересечение графиков: −4 + 2t = 8 − t.
3. Получаем 3t = 12, поэтому t = 4 с. Подставим это значение, например, в первую формулу: x = −4 + 2 · 4 = 4 м.

Ответ: тела встретятся через 4 с в координате 4 м.

Типичные ошибки

Некоторые ученики откладывают время по вертикальной оси, потому что считают её главной для независимой переменной. В принятом соглашении время располагают по горизонтали, а координату — по вертикали. Проверьте себя по подписям осей: слева направо должна изменяться величина t.

Наклон графика иногда принимают за координату, поскольку обе величины считываются с одного рисунка. Но координата задаётся высотой точки над осью времени, а наклон вычисляется как Δx/Δt и связан со скоростью. Для проверки отдельно найдите x в нужный момент и отдельно возьмите две точки для расчёта v.

Движение вниз по графику ошибочно называют движением с уменьшающейся скоростью. На самом деле при таком наклоне убывает координата, а скорость имеет отрицательное значение; её модуль может оставаться постоянным. Сравните наклон разных участков, а не только направление линии.

Перемещение часто путают с путём, потому что оба понятия описывают результат движения. Перемещение равно разности конечной и начальной координат, а путь учитывает длину всей траектории и не бывает отрицательным. Если тело меняло направление, одной разности координат для нахождения пути недостаточно.

Связь с другими темами

Для чтения графика нужны понятия системы отсчёта, координатной оси, момента времени и равномерного прямолинейного движения. Без выбранного начала координат и положительного направления нельзя правильно определить знак координаты или скорости.

Графики помогают перейти к изучению скорости и ускорения: наклон графика x(t) даёт скорость, а изменение наклона указывает на изменение скорости. По нескольким графикам удобно сравнивать движения тел и находить моменты их встречи.

Что запомнить

• Время откладывают по горизонтальной оси, координату — по вертикальной.
• Точка графика задаёт координату тела в конкретный момент времени.
• Для равномерного движения график координаты от времени — прямая.
• Значение координаты при t = 0 равно начальной координате.
• Наклон графика определяет скорость: v = Δx/Δt.
• Горизонтальный участок означает покой, а не движение с постоянной ненулевой скоростью.
• Перемещение равно разности конечной и начальной координат.