"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Скорость тела нельзя задать без указания системы отсчёта: один и тот же пассажир движется с разной скоростью относительно поезда и Земли. Когда тело и система отсчёта движутся вдоль одной прямой, их скорости связывает формула v = v′ + u. Чтобы применять её без ошибок, выбирают положительное направление и учитывают знаки скоростей. Тогда формула помогает найти скорость тела в другой системе и определить, с какой скоростью сближаются или удаляются два тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени. Например, наблюдатель может описывать движение пассажира относительно поезда или относительно Земли. Скорость зависит от выбранной системы: один наблюдатель считает пассажира движущимся, а другой может видеть его покоящимся.
Подвижной системой отсчёта называют систему, которая движется относительно другой системы вдоль той же прямой. Скорость её движения обозначают буквой u. Например, поезд может быть подвижной системой, если скорость пассажира сравнивают с его скоростью относительно Земли.
Скорость тела относительно системы отсчёта — это скорость, измеренная наблюдателем, связанным с этой системой. Скорость относительно неподвижной системы обозначим v, а относительно подвижной — v′. Штрих здесь не означает производную: он лишь помогает отличить одно измерение скорости от другого.
Сложение скоростей — правило, которое связывает скорость одного тела в двух системах отсчёта: v = v′ + u. Все величины в этой записи алгебраические, то есть имеют знак, связанный с выбранным направлением оси. Формула позволяет переводить скорость из одной системы в другую, не смешивая, кто и относительно чего движется.
Если движение происходит вдоль прямой, удобно провести ось вдоль этой прямой и выбрать её положительное направление. Тогда каждой скорости соответствует число со знаком: движение по оси задают положительным числом, против оси — отрицательным. Это нужно, чтобы направления учитывались в вычислениях, а не оставались только в описании задачи.
Пусть начало координат подвижной системы в момент времени t находится в точке с координатой ut относительно неподвижной системы. Если тело имеет координату x′ в подвижной системе, его координата в неподвижной системе равна x = x′ + ut. Координата тела складывается из его положения относительно подвижной системы и положения самой системы. Деление этого равенства на промежуток времени при равномерном движении даёт связь скоростей: v = v′ + u.
Когда тело и подвижная система движутся в одну сторону, их скорости имеют одинаковые знаки. Поэтому при переходе к скорости относительно неподвижной системы модули складываются: например, пассажир, идущий вперёд по вагону, движется относительно Земли быстрее поезда. Если направления противоположны, знаки скоростей различаются, и в сумме модулей получается разность. Знак результата показывает, в какую сторону движется тело относительно выбранной системы.
Формула позволяет перейти в любую сторону, если правильно определить, какая скорость неизвестна. Из равенства v = v′ + u получаем v′ = v − u: чтобы узнать скорость тела в подвижной системе, вычитаем скорость этой системы из скорости тела в неподвижной. Если требуется найти скорость в неподвижной системе, используем исходную запись v = v′ + u. При вычитании и сложении сохраняем знаки величин, а не подменяем их модулями.
Один и тот же объект может иметь разные скорости относительно разных наблюдателей, потому что системы отсчёта движутся друг относительно друга. Для двух тел скорость первого относительно второго выражают как vотн = v1 − v2, где скорости заданы в одной и той же системе. Модуль разности показывает, как быстро меняется расстояние между телами: при сближении это скорость сближения, при удалении — скорость удаления. Если тела движутся навстречу, их скорости имеют противоположные знаки, поэтому модуль разности равен сумме модулей.
| Ситуация | Связь скоростей | Знаковая запись | Что происходит с модулями скоростей |
|---|---|---|---|
| Тело и система движутся в одном направлении | v = v′ + u | Скорости имеют одинаковые знаки | Модули складываются |
| Тело и система движутся в противоположных направлениях | v = v′ + u | Скорости имеют разные знаки | Модули вычитаются, знак результата задаёт направление |
| Переход из неподвижной системы в подвижную | v′ = v − u | Из скорости тела вычитается скорость системы | Получается скорость, измеренная в подвижной системе |
| Относительная скорость двух тел | vотн = v1 − v2 | Разность алгебраических скоростей | Модуль определяет скорость сближения или удаления |
Сначала найдите в таблице нужную ситуацию и уточните, относительно какой системы задана каждая скорость. Затем выберите положительное направление и подставьте величины со знаками в соответствующую формулу. Таблица описывает движение вдоль одной прямой; для движения в разных направлениях в пространстве нужны проекции скоростей на оси.
Поезд движется со скоростью 72 км/ч относительно Земли, а пассажир идёт по вагону вперёд со скоростью 5 км/ч относительно поезда. Требуется найти скорость пассажира относительно Земли. Выберем направление движения поезда положительным: тогда обе скорости направлены по оси и имеют знак «плюс».
Ответ: 77 км/ч относительно Земли. Скорость оказалась больше скорости поезда, потому что пассажир движется по вагону в ту же сторону, куда движется поезд.
Автомобили движутся относительно дороги со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч навстречу друг другу. Найдём скорость первого относительно второго и выясним скорость их сближения. Положительным выберем направление движения первого автомобиля, поэтому скорость второго будет отрицательной.
Ответ: скорость первого относительно второго равна +140 км/ч, а автомобили сближаются со скоростью 140 км/ч. Положительный знак показывает, что в выбранной системе первый автомобиль движется в положительную сторону относительно второго; модуль даёт скорость изменения расстояния.
Катер движется относительно берега со скоростью 12 м/с против течения, скорость которого относительно берега равна 3 м/с. Нужно определить скорость катера относительно воды, а затем сравнить результат с движением по течению. Положительное направление выберем по ходу течения, поэтому скорость катера против течения отрицательна.
Ответ: против течения скорость катера относительно воды равна 15 м/с; по течению при той же скорости относительно воды скорость относительно берега составит 18 м/с. Течение помогает катеру двигаться относительно берега по течению и мешает при движении против него.
Первая ошибка — складывать или вычитать модули скоростей, не выбрав направление. Так легко перепутать встречное движение с движением в одну сторону. Перед вычислением обозначьте положительное направление и поставьте каждой скорости знак; после расчёта проверьте, соответствует ли знак ответа направлению движения.
Вторая ошибка — путать скорость тела относительно подвижной системы со скоростью самой системы относительно неподвижной. Например, скорость пассажира относительно поезда — не скорость поезда относительно Земли. Подпишите у каждой величины, к какому телу и какой системе она относится, прежде чем составлять уравнение.
Третья ошибка — использовать v′ = v + u при переходе в подвижную систему. Так делают, когда помнят о сложении, но не проверяют, какую скорость требуется найти. Выразите неизвестную из v = v′ + u: для v′ получится v′ = v − u, а затем проверьте формулу на простом случае, когда тело покоится относительно подвижной системы.
Четвёртая ошибка — подставлять скорости в разных единицах, например одну в км/ч, а другую в м/с. Это даёт неверное числовое значение, даже если знаки и формула выбраны правильно. Приведите все скорости к одной системе единиц до вычисления и запишите единицу измерения в ответе.
Для этой темы нужны понятия системы отсчёта, координаты, пути, перемещения и скорости, а также понимание направления движения. Умение складывать алгебраические величины и находить проекцию вектора на ось помогает учитывать направление знаками. Позже эти правила применяются при описании относительного движения, движении транспорта и решении задач на встречу или обгон. Они входят в основу классической механики, где движение всегда рассматривают относительно выбранной системы.
Почему скорости иногда складываются, а иногда вычитаются?
В формуле v = v′ + u складываются алгебраические скорости, то есть числа со знаками. Если скорости направлены одинаково, знаки совпадают и модули складываются; если направления противоположны, знаки разные и модули вычитаются.
Что означает знак минус у скорости?
Минус показывает, что тело движется против выбранного положительного направления оси. Сам по себе он не означает, что тело замедляется или движется неправильно.
Как понять, какую скорость нужно вычитать при переходе в другую систему отсчёта?
Чтобы найти скорость тела в подвижной системе, используйте v′ = v − u. Здесь v — скорость тела относительно неподвижной системы, а u — скорость самой подвижной системы относительно неё; у обеих скоростей учитывают знаки.
Можно ли применять формулу сложения скоростей, если тела движутся в разные стороны?
Да, если их движение происходит вдоль одной прямой. Выберите положительное направление, присвойте скоростям знаки и примените формулу v = v′ + u.
Чем скорость тела относительно другого тела отличается от его скорости относительно Земли?
Скорость относительно Земли измеряют в системе отсчёта, связанной с Землёй, а относительно другого тела — в системе, движущейся вместе с ним. Поэтому значение может отличаться: относительная скорость равна разности алгебраических скоростей тел.
§ 3. Сложение скоростей и переход в другую систему отсчёта при движении вдоль одной прямой
