"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Одна и та же скорость может иметь разные значения для наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Чтобы описать движение без путаницы, указывают систему отсчёта и учитывают скорость её движения. Для тел, движущихся вдоль одной прямой, связь скоростей записывают формулой v = v′ + u: скорость тела относительно неподвижной системы равна сумме его скорости относительно подвижной системы и скорости переноса. Направления учитываются знаками, поэтому встречные скорости не всегда просто складывают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, координатная ось и часы, относительно которых описывают движение. Тело отсчёта помогает определить положение, ось задаёт координаты, а часы позволяют сравнивать моменты времени. Система нужна потому, что движение и скорость нельзя задать сами по себе: их измеряют относительно чего-либо. Поэтому, называя скорость, всегда уточняют, относительно какой системы она определена.
Подвижная система отсчёта — система, которая движется относительно другой системы со скоростью переноса. Например, вагон движется относительно платформы, а пассажир может перемещаться относительно вагона. Скорость переноса обычно обозначают u; она показывает, как движется сама выбранная система. Это обозначение позволяет отдельно учитывать движение системы и движение тела внутри неё.
Относительная скорость — скорость тела, измеренная наблюдателем в выбранной системе отсчёта. Так, скорость пассажира относительно вагона и скорость того же пассажира относительно платформы могут различаться. Это не две разные скорости одного движения, а результаты измерения для разных наблюдателей. Понятие нужно, чтобы не смешивать данные, полученные в разных системах.
Сложение скоростей — правило, связывающее скорость тела в неподвижной системе, его скорость в подвижной системе и скорость самой подвижной системы. Вдоль одной прямой эта связь записывается как v = v′ + u. Здесь v — скорость тела относительно неподвижной системы, v′ — относительно подвижной, а u — скорость подвижной системы относительно неподвижной. Формула помогает переходить от описания движения одним наблюдателем к описанию другим.
При движении вдоль прямой направление можно задать одной координатной осью, например направить её вправо. Тогда движение вправо описывается положительной скоростью, а движение влево — отрицательной. Благодаря знакам скорости становятся алгебраическими величинами: их можно складывать по обычным правилам, не теряя информацию о направлении. Если бы учитывать только модули, пришлось бы каждый раз отдельно разбирать, куда движется тело.
Пусть неподвижная система задаёт координату x, а подвижная — координату x′ того же тела. Если начало подвижной системы имеет координату x₀, положение тела можно записать как x = x′ + x₀. Изменение координаты за малый промежуток времени даёт скорость; продифференцируем равенство по времени: dx/dt = dx′/dt + dx₀/dt. Обозначив эти скорости через v, v′ и u соответственно, получаем формулу v = v′ + u.
Формула означает, что изменение положения тела для неподвижного наблюдателя складывается из двух перемещений. За одно и то же время подвижная система переносится относительно неподвижной, а тело смещается относительно самой подвижной системы. Их направления учитываются знаками, поэтому складываются не просто числа-модули, а алгебраические скорости. Именно поэтому наблюдатели в разных системах могут измерить разные скорости одного тела.
Если тело и подвижная система движутся в противоположные стороны, их скорости имеют разные знаки. Например, если направление движения системы считать положительным, скорость тела относительно неё, направленная навстречу, будет отрицательной. Тогда в формуле v = v′ + u складывается положительное u и отрицательное v′, то есть модули фактически вычитаются. Записывать знак сразу надёжнее, чем решать заранее, нужно ли складывать или вычитать.
Для перехода между системами сначала определите, какая из них движется и относительно какой измерена её скорость. Затем задайте положительное направление, запишите известные скорости со знаками и подставьте их в v = v′ + u. Если требуется найти скорость тела в подвижной системе, перенесите u в другую часть равенства: v′ = v − u. После вычисления проверьте знак результата: он показывает направление движения относительно выбранной оси.
| Ситуация | Скорость тела относительно неподвижной системы | Скорость подвижной системы | Скорость тела относительно подвижной системы |
|---|---|---|---|
| Общий случай | v | u | v′; v = v′ + u |
| Тело и подвижная система движутся в одну сторону | v = v′ + u | u | v′ |
| Тело и подвижная система движутся в противоположные стороны | v = v′ − u при использовании положительных модулей | u | v′ |
| Тело покоится в подвижной системе | v = u | u | v′ = 0 |
| Тело покоится в неподвижной системе | v = 0 | u | v′ = −u |
| Переход к скорости тела в подвижной системе | v′ = v − u | u | v′ |
Пользуйтесь таблицей, сначала выяснив, какая скорость дана и относительно какой системы она измерена. В общем случае применяйте формулу со знаками, а записи через положительные модули используйте только после определения направлений. Последние строки помогают быстро проверить случаи покоя и выполнить обратный переход.
Поезд движется со скоростью 20 м/с относительно платформы. Пассажир идёт по вагону в направлении движения поезда со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Требуется найти скорость пассажира относительно платформы. Обозначим скорость пассажира относительно платформы через v, относительно поезда — через v′, а скорость поезда — через u.
Ответ: 21,5 м/с относительно платформы, в направлении движения поезда. Здесь скорости складываются, поскольку пассажир идёт внутри вагона туда же, куда движется поезд. Важно было сложить скорость относительно поезда со скоростью самого поезда, а не считать их одной и той же величиной.
Автомобиль движется со скоростью 25 м/с относительно дороги, а грузовик — со скоростью 15 м/с в том же направлении. Нужно найти скорость автомобиля относительно грузовика. Дорогу примем за неподвижную систему, а систему, связанную с грузовиком, — за подвижную.
Ответ: 10 м/с в направлении движения автомобилей. В системе грузовика его собственная скорость равна нулю, поэтому важна разность скоростей автомобиля и грузовика. Если бы их скорости были одинаковы, автомобиль покоился бы относительно грузовика.
Вагон движется со скоростью 12 м/с относительно платформы. Мяч летит внутри вагона против движения вагона со скоростью 5 м/с относительно вагона. Найдём скорость мяча относительно платформы и определим направление его движения. Ось направим по движению вагона, чтобы его скорость имела положительный знак.
Ответ: 7 м/с в направлении движения вагона. Встречные движения не означают, что мяч обязательно движется назад относительно платформы: его скорость внутри вагона меньше скорости вагона. Если бы мяч летел назад быстрее 12 м/с, результат стал бы отрицательным.
Первая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая направления. Так поступают, потому что знакомое слово «сложение» воспринимают как обязательное увеличение результата. При встречном движении одна скорость должна иметь отрицательный знак, и модуль результирующей может быть разностью. Для проверки нарисуйте ось и стрелки или подставьте знаковые значения в общую формулу.
Вторая ошибка — путать скорость тела относительно подвижной системы со скоростью самой системы. Например, скорость пассажира внутри вагона принимают за скорость вагона относительно платформы. Эти величины описывают разные перемещения, поэтому в формуле занимают разные места: v′ относится к телу, u — к системе. Подписывайте каждую скорость словами и проверяйте, кто именно движется относительно чего.
Третья ошибка — применять v = v′ + u, когда требуется перейти к скорости в подвижной системе. Формула легко запоминается, но тогда можно перепутать искомое и известное. Если известна скорость тела в неподвижной системе, а нужна относительная, используйте v′ = v − u. Проверка проста: подставьте найденное v′ обратно в v = v′ + u — должно получиться исходное значение.
Четвёртая ошибка — не указывать, относительно какой системы измерена скорость. Тогда можно сложить скорость автомобиля относительно дороги со скоростью другого автомобиля относительно него, хотя эти данные относятся к разным системам и требуют пояснения. Такая путаница возникает, когда в решении оставляют только числа. Подписывайте обозначения, например «относительно платформы» или «относительно вагона», и сверяйте систему для каждого слагаемого.
Для этой темы нужны понятия координаты, траектории, скорости и системы отсчёта, а также умение выбирать положительное направление оси. Координатная запись объясняет, почему скорости получают знаки, а понятие системы отсчёта — почему наблюдатели могут измерять разные значения. Без этих основ формула сложения превращается в механическое правило без ясного смысла.
Сложение скоростей вдоль одной прямой связано с векторным способом описания движения. В общем случае скорости складывают как векторы, учитывая их направления; на одной прямой это сводится к сложению алгебраических величин со знаками. Позже этот приём поможет разбирать движения в нескольких измерениях и сравнивать описание движения в разных системах.
Переход между системами отсчёта пригодится при изучении относительности движения и инерциальных систем, а также в задачах о поездах, лодках и самолётах. Во всех таких задачах важно отделять скорость объекта от скорости среды или системы, относительно которой его наблюдают. Один и тот же алгоритм — выбрать систему, учесть направления, записать связь — помогает не зависеть от конкретного сюжета.
Почему нельзя просто складывать модули скоростей?
Модуль показывает только величину скорости, но не направление движения. Если тело движется против подвижной системы, его скорость в выбранной оси имеет отрицательный знак, поэтому при сложении алгебраических скоростей получается вычитание модулей.
Как понять, какую систему отсчёта считать неподвижной?
Неподвижной выбирают систему, относительно которой описывают движение и в которой известны или удобны данные задачи. Это не означает, что она неподвижна вообще: речь идёт только о выбранном сравнении. Например, в задаче о поезде такой системой обычно служит платформа.
Что означает отрицательная скорость?
Отрицательный знак показывает, что тело движется против выбранного положительного направления оси. Сам по себе он не означает, что тело замедляется или движется «неправильно». Модуль скорости при этом остаётся неотрицательным.
Когда скорости нужно складывать, а когда вычитать?
Сначала задайте положительное направление и запишите каждую скорость со знаком. Затем используйте формулу v = v′ + u: если скорости направлены одинаково, их алгебраические значения складываются, а если противоположно — одно из них отрицательно, и модули вычитаются.
Чем отличается скорость тела от скорости подвижной системы отсчёта?
Скорость тела относительно подвижной системы описывает движение тела для наблюдателя внутри этой системы. Скорость подвижной системы, обозначаемая u, показывает, как сама система движется относительно выбранной неподвижной. Это разные величины, которые нельзя подменять друг другом.
§ 3. Сложение скоростей и переход в другую систему отсчёта при движении вдоль одной прямой
