§ 29. Кинетическая энергия и механическая работа

Определения и обозначения

Механическая работа — скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между ними: A = Fs cos α. Её обозначают буквой A, а измеряют в джоулях. Работа нужна, чтобы описать, передала ли сила энергию телу при его перемещении и сколько энергии было передано.

Кинетическая энергия — энергия тела, обусловленная его движением. В классической механике её вычисляют по формуле E_к = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость. Эта величина помогает количественно сравнивать движение тел и связывает скорость с возможностью совершить работу.

Работа постоянной силы — способ количественно описать передачу энергии при перемещении тела под действием неизменной силы. Вклад в работу даёт составляющая силы вдоль перемещения: сила, направленная поперёк него, энергии таким способом не передаёт. Поэтому для расчёта нужно знать не только силу и путь, но также направление силы.

Теорема о кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей всех сил равна изменению кинетической энергии тела. Равнодействующая — сила, которая заменяет совместное действие всех сил на тело. Теорема позволяет выяснить, как их суммарное действие изменило скорость, не прослеживая движение в каждый момент времени.

Как это устроено

Чтобы понять формулу работы, разложим силу на две составляющие: вдоль перемещения и перпендикулярно ему. Первая равна F cos α и может увеличивать или уменьшать движение вдоль выбранного направления, а поперечная составляющая не сдвигает тело вдоль пути. Если перемещение равно s, действие направленной вдоль него составляющей описывается произведением A = (F cos α)s = Fs cos α. Поэтому работа зависит от угла: при одинаковой силе и перемещении её вклад меняется в зависимости от того, насколько сила направлена вдоль пути.

Знак работы определяется тем, помогает ли сила перемещению. При остром угле α косинус положителен, поэтому сила имеет составляющую по направлению движения и работа положительна. При тупом угле составляющая направлена против перемещения, косинус отрицателен, а работа тормозит тело. Если угол прямой, проекция силы на путь равна нулю: сила может менять направление скорости, но её работа равна нулю.

Кинетическая энергия зависит от массы и скорости: при одной и той же скорости более тяжёлое тело обладает большей энергией движения. Скорость входит в формулу в квадрате, потому что при выводе этой связи учитывается, как сила изменяет скорость на некотором пути. Следовательно, удвоение скорости увеличивает кинетическую энергию в четыре раза, а увеличение скорости втрое — в девять раз. Масса при этом влияет прямо пропорционально: если её увеличить вдвое при неизменной скорости, энергия тоже удвоится.

Теорема связывает суммарное действие сил с изменением движения: A = E_к2 − E_к1. Если равнодействующая совершает положительную работу, конечная кинетическая энергия больше начальной; если отрицательную — меньше. При нулевой работе кинетическая энергия не меняется, хотя тело может продолжать двигаться. Важно брать работу именно равнодействующей, потому что отдельные силы могут совершать работу разных знаков.

Теорема удобна, когда в задаче важны начальная и конечная скорости, а не то, как они менялись по времени. Записывают работу равнодействующей и приравнивают её разности кинетических энергий: A = mv₂²/2 − mv₁²/2. Если неизвестна скорость, из равенства выражают её; если неизвестна работа — находят разность энергий. Такой способ не требует отдельно вычислять время движения или ускорение, но нужно правильно учесть все силы, совершающие работу.

Механическая работа и кинетическая энергия

Сначала найдите нужную строку по ситуации, затем проверьте условие или формулу в среднем столбце. Последний столбец помогает понять знак работы и её влияние на движение. В задачах на изменение скорости выбирайте строку о связи работы с кинетической энергией.

Разбор задач

Задача 1. На тележку действует сила 10 Н, направленная вдоль её перемещения на 3 м. Найдите работу силы.

1. Запишем формулу работы постоянной силы: A = Fs cos α. По условию сила направлена вдоль перемещения, поэтому угол между ними равен 0°.
2. Подставим данные: A = 10 Н · 3 м · cos 0° = 30 Н·м. Так как cos 0° = 1, сила полностью действует вдоль пути.
3. Заменим Н·м на джоули: 30 Н·м = 30 Дж. Знак положительный, поскольку сила помогает тележке перемещаться.

Ответ: A = 30 Дж.

Задача 2. Сила 20 Н перемещает тело на 5 м, образуя с направлением перемещения угол 60°. Определите работу силы и её знак.

1. Используем A = Fs cos α. Сила не направлена вдоль пути, поэтому учитываем только её проекцию на направление перемещения.
2. Подставим значения: A = 20 Н · 5 м · cos 60° = 100 · 0,5 Н·м = 50 Дж. Косинус острого угла положителен.
3. Следовательно, работа положительная: сила имеет составляющую по направлению перемещения и передаёт телу энергию. Проверка единиц даёт Н·м, то есть джоули.

Ответ: A = 50 Дж, работа положительная.

Задача 3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Под действием равнодействующей силы оно получает работу 16 Дж. Найдите конечную скорость, если направление движения не меняется.

1. Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: 16 = mv₂²/2 − mv₁²/2. Начальная скорость v₁ = 3 м/с, масса m = 2 кг.
2. Начальная энергия равна E_к1 = 2 · 3²/2 = 9 Дж. Значит, конечная энергия E_к2 = 9 + 16 = 25 Дж.
3. Из E_к2 = mv₂²/2 получаем v₂² = 2 · 25/2 = 25, поэтому v₂ = 5 м/с. Берём положительное значение скорости, поскольку направление движения не меняется.

Ответ: конечная скорость равна 5 м/с.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать A = Fs, не учитывая угол. Так делают, когда автоматически считают силу направленной вдоль пути, но при наклонной силе часть её действия направлена поперёк перемещения. Проверка: выясните, совпадает ли направление силы с перемещением; если нет, используйте cos α.

Ошибка: считать работу отрицательной только потому, что тело движется в отрицательном направлении оси. Знак работы задаётся углом между силой и перемещением, а не выбором координат. Проверьте направления обоих векторов: если сила направлена по перемещению, работа положительна и при движении влево.

Ошибка: считать, что при любом движении каждая сила совершает работу. Это неверно, если сила перпендикулярна перемещению: её проекция на путь равна нулю. Для проверки вычислите угол и подставьте его в формулу; при 90° работа окажется нулевой.

Ошибка: приравнивать работу равнодействующей конечной кинетической энергии. Теорема говорит об изменении энергии, поэтому нужно вычесть начальную: A = E_к2 − E_к1. Проверка проста: если тело уже двигалось до действия сил, начальная энергия не равна нулю и её нельзя отбросить.

Связь с другими темами

Для понимания работы и кинетической энергии нужны сила, перемещение, скорость и масса, а также умение находить проекцию вектора на заданное направление. Эти знания применяются при изучении закона сохранения механической энергии: работа внешних сил может менять сумму кинетической и потенциальной энергий. Работы силы тяжести и силы упругости помогают описывать превращения энергии при падении, подъёме и деформации. Теорема о кинетической энергии особенно полезна в задачах о торможении и изменении скорости под действием нескольких сил.

Что запомнить

• Работа постоянной силы: A = Fs cos α.
• Работа измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н·м.
• Работа положительна, если сила имеет составляющую по направлению перемещения.
• Кинетическая энергия тела: E_к = mv²/2.
• Кинетическая энергия неотрицательна и зависит от квадрата скорости.
• Работа равнодействующей сил равна изменению кинетической энергии: A = E_к2 − E_к1.