2. Проекция внешних сил на некоторую ось координат равна нулю

Определения и обозначения

Внешняя сила — сила, с которой на тела системы действуют тела, не включённые в эту систему. Например, если система состоит из двух сталкивающихся тел, силы их взаимодействия внутренние, а действие пола — внешнее. Границы системы задаём мы, поэтому одна и та же сила может считаться внутренней или внешней в зависимости от выбранных тел.

Проекция силы на ось — составляющая вектора силы вдоль выбранного направления. Если ось направлена вправо, сила вправо имеет положительную проекцию, а сила влево — отрицательную; перпендикулярная оси сила имеет нулевую проекцию. Знак нужен, чтобы правильно складывать направленные в разные стороны воздействия.

Импульс системы — векторная сумма импульсов всех входящих в систему тел: p = p₁ + p₂ + … . Проекция импульса системы на ось равна сумме проекций импульсов тел на эту ось. Поэтому при расчёте можно учитывать движение каждого тела отдельно, но обязательно сохранять знаки его скорости.

Закон сохранения проекции импульса утверждает: проекция импульса системы на выбранную ось не меняется, если проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна нулю. Это условие относится именно к выбранному направлению, а не обязательно ко всему вектору импульса. Закон позволяет находить скорости и перемещения тел, даже если другие компоненты их движения меняются.

Как это устроено

Рассмотрим движение всех тел системы как одно общее движение. Каждое тело взаимодействует с другими телами системы, но силы такого взаимодействия возникают парами: тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. При сложении уравнений движения эти внутренние силы взаимно компенсируются. Поэтому изменение суммарного импульса системы связано с действием внешних сил, а не с внутренними взаимодействиями.

Второй закон Ньютона для системы записывает связь между изменением её импульса и равнодействующей внешних сил: изменение импульса за время равно импульсу этой равнодействующей. Если спроектировать это равенство на выбранную ось, получится: изменение pₓ равно импульсу проекции внешней равнодействующей на ось. Значит, проекция импульса меняется только тогда, когда внешние силы передают системе ненулевой импульс в этом направлении.

Если сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, проекция импульса на неё остаётся постоянной. Это не требует, чтобы каждая внешняя сила исчезла: например, сила тяжести и реакция горизонтальной опоры могут иметь ненулевые вертикальные проекции, которые компенсируются. При этом на другой оси силы могут не уравновешиваться, и проекция импульса по ней изменится. Так закон применяют к одному направлению, не утверждая сохранение всего вектора.

В задаче сначала определяют систему тел: от этого зависит, какие силы будут внешними. Затем выбирают ось, на которой внешние воздействия либо отсутствуют, либо компенсируются, и проверяют сумму их проекций. Если условие выполнено, записывают равенство начальной и конечной проекций импульса: Σpₓ нач = Σpₓ кон. Скорости, направленные против выбранной оси, в этом равенстве берут со знаком минус.

При столкновении силы взаимодействия тел могут быть очень большими, но они внутренние, если оба тела включены в систему. Столкновение обычно длится недолго, поэтому импульс внешних сил за это время часто мал по сравнению с импульсами тел. Тогда им можно пренебречь и считать проекцию импульса сохраняющейся. Такое допущение нужно обосновать: например, внешнее трение или удар опоры могут оказаться существенными.

Проекция внешней силы и изменение проекции импульса системы

Сначала найдите сумму проекций всех внешних сил, а не проверяйте каждую силу отдельно. Затем по её знаку определите, будет ли проекция импульса постоянной, возрастать или убывать. Увеличение или уменьшение относится к числовому значению проекции с учётом выбранного направления оси.

Разбор задач

Отталкивание на гладкой поверхности

Условие. Два тела движутся по гладкой горизонтальной поверхности и отталкиваются друг от друга. Нужно определить, сохраняется ли проекция импульса системы на горизонтальную ось. Массы и скорости тел могут меняться в процессе взаимодействия, поэтому рассмотрим их вместе.

1. Выберем системой оба тела. Силы, с которыми они отталкиваются, внутренние и не входят в равнодействующую внешних сил системы.
2. Направим ось горизонтально. Сила тяжести и реакция опоры вертикальны, а гладкая поверхность не оказывает силы трения.
3. Все внешние силы имеют нулевые горизонтальные проекции, значит ΣFₓ внеш = 0. По закону сохранения проекции импульса pₓ нач = pₓ кон.

Ответ: горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Каждый импульс тела при этом может измениться: тела передают друг другу импульс, но их суммарная горизонтальная проекция остаётся прежней.

Человек переходит по лодке

Условие. Человек массой m переходит с кормы на нос лодки массой M, стоящей на спокойной воде. Длина пути человека относительно лодки равна L; требуется найти смещение лодки. Считаем горизонтальные внешние силы пренебрежимо малыми, а начальный импульс системы равным нулю.

1. Система — человек и лодка, ось направим к носу. Горизонтальная проекция импульса системы сохраняется, поэтому после перехода m v + M V = 0, где v и V — скорости человека и лодки относительно берега.
2. За время перехода обозначим смещение лодки через x. Смещение человека относительно берега равно x + L, так как его путь относительно лодки направлен к носу.
3. Сохранение центра масс при нулевом начальном импульсе даёт m(x + L) + Mx = 0. Решая это уравнение, получаем x = −mL/(M + m); минус показывает, что лодка смещается к корме.

Ответ: лодка сместится на mL/(M + m) к корме. Смещение меньше L, поскольку часть перемещения человека относительно берега компенсируется движением лодки в противоположную сторону.

Неупругое столкновение

Условие. Два тела массами m₁ и m₂ сталкиваются и после столкновения движутся вместе. Известны их начальные скорости u₁ и u₂; внешним импульсом вдоль направления движения можно пренебречь. Нужно найти общую скорость после столкновения.

1. Включим оба тела в систему и направим ось вдоль выбранного положительного направления движения. Скорость, направленную против оси, записываем со знаком минус.
2. До столкновения проекция импульса равна m₁u₁ + m₂u₂. После сцепления тела движутся как одно целое массой m₁ + m₂, поэтому импульс равен (m₁ + m₂)v.
3. Приравняем проекции начального и конечного импульса: m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁ + m₂)v. Отсюда v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂).

Ответ: общая скорость определяется последней формулой. Её знак показывает направление движения после столкновения, а значение скорости зависит от обоих начальных импульсов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при нулевой проекции внешних сил сохраняется весь импульс. Условие проверяют только для одной оси, поэтому проекции на другие оси могут меняться; это легко упустить, если воспринимать импульс системы как одно неделимое число. Проверьте задачу отдельно по каждой оси и делайте вывод только о той, для которой сумма внешних проекций равна нулю.

Ошибка: требовать, чтобы каждая внешняя сила имела нулевую проекцию. Силы могут быть ненулевыми, но компенсировать друг друга; обычно ошибку вызывает проверка сил по одной, без сложения. Составьте список их проекций со знаками и найдите сумму.

Ошибка: включать внутренние силы в равнодействующую внешних сил или, наоборот, неверно считать силу внешней. Это происходит, когда сначала не определены границы системы. Назовите тела системы и для каждой силы установите, находится ли тело-источник взаимодействия внутри неё.

Ошибка: считать, что при любом столкновении внешние силы отсутствуют. На тела могут действовать трение, опора или тяжесть, а время взаимодействия само по себе не делает их влияние нулевым. Проверьте, мал ли импульс этих сил за время столкновения по сравнению с импульсом тел и на нужной ли оси рассматривается движение.

Связь с другими темами

Для применения закона нужно знать импульс тела, второй закон Ньютона и правила определения проекции вектора на ось. Тема используется в задачах на столкновения, отдачу и движение связанных тел, когда внешние воздействия компенсируются лишь в одном направлении. Это частный случай закона сохранения импульса для замкнутой системы: если равнодействующая внешних сил равна нулю во всех направлениях, сохраняется весь вектор импульса, а здесь может сохраняться только одна его проекция.

Что запомнить

• Изменение импульса системы определяется внешними силами.
• На выбранной оси учитывают сумму проекций всех внешних сил.
• Если эта сумма равна нулю, проекция импульса системы сохраняется.
• Нулевой результат на одной оси не означает сохранения проекций на остальные оси.
• Внутренние силы не входят в равнодействующую внешних сил системы.
• При столкновении внешним импульсом можно пренебречь только при соответствующем обосновании.