3. Удары, столкновения, разрывы, выстрелы

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p — импульс, m — масса, v — скорость; направление p совпадает с направлением v. Единица импульса — кг·м/с, поэтому при расчётах важно использовать массу в килограммах и скорость в метрах в секунду.

Замкнутая система — система тел, для которой внешними силами можно пренебречь или их импульс за рассматриваемое время равен нулю. Внутри такой системы тела могут сильно действовать друг на друга, но внешнее воздействие не меняет общий импульс. Это понятие позволяет выбрать, какие тела нужно включить в расчёт.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме после него. Запись закона: Σpдо = Σpпосле. Закон нужен, чтобы связывать скорости тел до и после удара, даже если силы взаимодействия неизвестны.

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части массы с некоторой скоростью. Отделившаяся часть уносит импульс, а оставшееся тело получает импульс в противоположную сторону. Так можно объяснить движение ракеты и отдачу при выстреле.

Как это устроено

При ударе силы между телами велики, но обычно действуют очень короткое время. За это время внешние силы, например сила тяжести, успевают сообщить системе сравнительно небольшой импульс, поэтому ими можно пренебречь. Если рассмотреть оба сталкивающихся тела вместе, силы их взаимодействия окажутся внутренними и не изменят общий импульс системы. Поэтому столкновения, разрывы и выстрелы удобно анализировать одним законом сохранения импульса.

Импульс — вектор, поэтому нельзя просто складывать его модули, не проверив направления. Для движения вдоль прямой выбирают ось: скорость вправо можно считать положительной, а влево — отрицательной. Тогда закон записывают в проекциях, например m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где знаки скоростей задаются выбранной осью. Отрицательный ответ означает, что тело движется против выбранного положительного направления.

При неупругом столкновении тела после удара движутся вместе, например сцепляются. Их общая скорость определяется из сохранения импульса: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v. Кинетическая энергия при этом не сохраняется: часть движения превращается во внутреннюю энергию тел, звук и деформацию. Именно поэтому сцепившиеся тела обычно движутся медленнее, чем двигались бы при сохранении всей кинетической энергии.

Упругое столкновение отличается тем, что после удара тела расходятся, а суммарная кинетическая энергия сохраняется наряду с импульсом. Для двух тел систему уравнений можно записать так: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ и ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁u₁² + ½m₂u₂². Здесь v₁ и v₂ — скорости до столкновения, u₁ и u₂ — после. Реальные столкновения могут быть лишь приближённо упругими, если потерями энергии можно пренебречь.

До разрыва покоящаяся система имеет нулевой импульс, а после разрыва её части разлетаются с импульсами, сумма которых всё равно равна нулю. При выстреле импульс пули направлен вперёд, а оружия — назад; при начальном покое mпvп + mорвотд = 0, если направления учитывать знаками. Это не означает, что скорости частей равны: одинаковыми и противоположными будут импульсы, а скорость зависит ещё и от массы. Реактивное движение основано на том же перераспределении импульсов при отделении части массы.

Удары, столкновения, разрывы и выстрелы

Таблица помогает сначала определить, что именно сохраняется, а затем выбрать подходящее уравнение. В столкновении выясните, сцепились тела или разошлись; для разрыва и выстрела проверьте, покоилась ли система до события. В каждом случае направления скоростей нужно подставлять со знаками.

Разбор задач

Задача 1. Две вагонетки массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 1 м/с, после столкновения сцепляются. Найти общую скорость. Удар считаем коротким, а систему из двух вагонеток — замкнутой на время столкновения.

1. Выберем положительным направление движения первой вагонетки. Тогда v₁ = 4 м/с, а скорость второй v₂ = −1 м/с, поскольку она движется навстречу.
2. После сцепления вагонетки движутся как одно тело массой 2 + 3 = 5 кг. По закону сохранения импульса: 2·4 + 3·(−1) = 5v.
3. Получаем 8 − 3 = 5v, откуда v = 1 м/с. Положительный знак показывает, что вагонетки поедут в сторону первоначального движения первой.

Ответ: общая скорость равна 1 м/с в направлении движения первой вагонетки. Проверка по знакам показывает, что начальный суммарный импульс направлен именно в эту сторону. Сцепление означает, что после удара нужно делить импульс на общую массу.

Задача 2. Шар массой 0,2 кг со скоростью 6 м/с сталкивается с покоящимся шаром массой 0,3 кг; после удара первый шар останавливается. Найти скорость второго шара и определить, был ли удар упругим. Считаем движение одномерным, а внешним импульсом пренебрегаем.

1. Направление движения первого шара до удара примем за положительное. Начальный импульс равен 0,2·6 + 0,3·0 = 1,2 кг·м/с.
2. После удара первый шар покоится, поэтому весь импульс приходится на второй: 1,2 = 0,3u₂. Значит, u₂ = 4 м/с, знак плюс означает движение в первоначальном направлении первого шара.
3. Сравним кинетические энергии: до удара Eдо = ½·0,2·6² = 3,6 Дж, после Eпосле = ½·0,3·4² = 2,4 Дж. Энергии не равны, значит удар неупругий; разность 1,2 Дж перешла во внутреннюю энергию и другие формы.

Ответ: второй шар движется со скоростью 4 м/с; удар неупругий. Сохранение импульса само по себе не доказывает упругость столкновения. Для этого отдельно сравнивают кинетическую энергию до и после.

Задача 3. Снаряд летит горизонтально и разрывается на две части. Масса первой части равна m₁, её скорость v₁; массы частей — m₁ и m₂. Найти скорость и направление второй части относительно скорости снаряда до разрыва, обозначенной v₀. Сопротивлением воздуха за короткое время разрыва пренебрежём.

1. Выберем ось по первоначальному движению снаряда. До разрыва его масса равна m₁ + m₂, поэтому импульс системы равен (m₁ + m₂)v₀.
2. После разрыва импульсы частей равны m₁v₁ и m₂v₂. Записываем сохранение импульса в проекции: (m₁ + m₂)v₀ = m₁v₁ + m₂v₂.
3. Выразим неизвестную скорость: v₂ = ((m₁ + m₂)v₀ − m₁v₁)/m₂. Если результат положителен, вторая часть движется по выбранной оси, если отрицателен — против неё.

Ответ: v₂ = ((m₁ + m₂)v₀ − m₁v₁)/m₂; направление определяется знаком результата. Численное значение без данных масс и скоростей получить нельзя. Векторная запись нужна, если части разлетаются не вдоль одной прямой.

Типичные ошибки

Складывают модули импульсов, забывая направления. Так поступают, когда воспринимают скорость только как число и не выбирают ось. Встречные движения должны иметь разные знаки, иначе получится неверный общий импульс. Проверьте, соответствует ли знак результата реальному направлению движения.

Применяют закон к одному телу, а не ко всей системе. Из-за этого сила удара со стороны второго тела ошибочно считается внешней или вовсе пропускается. Закон сохранения относится к системе взаимодействующих тел, а не автоматически к каждому из них. Перед уравнением перечислите тела системы и оцените внешнее воздействие.

Считают, что кинетическая энергия сохраняется при любом столкновении. Такое заблуждение возникает из-за смешения закона сохранения импульса с законом сохранения энергии. При неупругом ударе кинетическая энергия переходит в нагрев, звук или деформацию. Сравните энергии до и после и используйте равенство только при упругом столкновении.

Путают скорость после сцепления со скоростью одного тела до удара. Скорость общего движения не принадлежит отдельно ни одной вагонетке до столкновения. После сцепления в уравнении стоит суммарная масса, а скорость находится из общего импульса. Проверьте, что масса в формуле соответствует движущемуся после удара телу.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, импульс силы, векторное сложение и проекции, а также формула кинетической энергии. Через эти понятия можно оценить, почему внешним воздействием на коротком промежутке часто пренебрегают и как проверяют упругость удара. Тот же закон объясняет реактивное движение, полёт ракет и отдачу оружия. Он применяется при анализе аварий, столкновений, баллистических задач, взрывов и разделения тел.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению его массы на скорость и является вектором.
• В замкнутой системе сохраняется векторная сумма импульсов.
• При неупругом столкновении тела после удара движутся вместе, а кинетическая энергия не сохраняется.
• При упругом столкновении сохраняются и импульс, и кинетическая энергия.
• При разрыве или выстреле импульсы разлетающихся частей направлены противоположно.
• Отдача возникает потому, что общий импульс системы без внешнего воздействия остаётся постоянным.
• В задачах на столкновения сначала нужно определить систему, выбрать ось и установить направления скоростей.