3. Проекция внешних сил на некоторую ось координат равна нулю

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Его направление совпадает с направлением скорости. Импульс показывает, насколько существенно движение тела и как трудно изменить это движение.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел системы: p_Σ = p₁ + p₂ + … . Он характеризует движение системы в целом, потому что учитывает движения всех её частей. Именно его изменение связывают с действием внешних сил.

Внешняя сила — сила, действующая на тела рассматриваемой системы со стороны тел, не входящих в неё. Например, для системы «человек и лодка» сила человека на лодку внутреняя, а сила сопротивления воды внешняя. От выбора системы зависит, какие силы попадут в расчёт.

Проекция силы или импульса на ось — алгебраическая величина, учитывающая направление вектора относительно выбранной оси. Она положительна при направлении вдоль положительного направления оси и отрицательна при противоположном направлении. Проекции позволяют отдельно исследовать движение по каждой координате.

Как это устроено

Для системы тел второй закон Ньютона имеет вид Δp_Σ/Δt = F_внеш. Это означает: импульс системы изменяется с такой скоростью и в таком направлении, как действует равнодействующая внешних сил. Если внешняя сила велика, изменение импульса за одинаковое время больше; если её проекция на ось равна нулю, импульс вдоль этой оси не меняется.

Внутренние силы не изменяют полный импульс системы, потому что возникают парами. По третьему закону Ньютона тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Поэтому при сложении сил всех тел системы вклады каждой такой пары взаимно уничтожаются, и остаётся только действие внешних сил.

Спроектируем уравнение второго закона Ньютона на ось Ox: Δp_Σx/Δt = F_{внеш x}. Если сумма проекций внешних сил равна нулю, правая часть равна нулю, значит, p_Σx не изменяется. В таком случае можно записать p_{Σx нач} = p_{Σx кон}.

Нулевой результат по одной оси не означает нулевой результат по другим осям. Например, при движении тела по гладкой горизонтальной поверхности горизонтальные внешние силы могут отсутствовать, а вертикальные сила тяжести и реакция опоры компенсируются; в другой ситуации вертикальная проекция может изменяться. Поэтому закон сохранения применяют отдельно к каждой оси, для которой выполнено нужное условие.

Сначала выберите систему тел, затем положительное направление оси и только после этого составляйте уравнение. Система должна включать все тела, между которыми важны внутренние взаимодействия: тогда эти силы не придётся учитывать. Ось лучше направлять вдоль предполагаемого движения или неизвестной скорости, чтобы уравнение содержало меньше проекций и знаки было проще проверить.

Связь внешних сил с изменением импульса системы

Сначала найдите проекции всех внешних сил на нужные оси, а затем сравните их сумму с нулём. Если условие выполнено, запишите равенство начальной и конечной проекций импульса. Для каждой оси проверку проводят отдельно: сохранение одной проекции не переносится автоматически на остальные.

Разбор задач

Прыжок человека с лодки

Условие: человек массой m прыгает с неподвижной лодки массой M. Скорость человека относительно берега после прыжка равна u. Сопротивлением воды пренебречь. Найдём скорость лодки.

1. Выберем систему «человек–лодка» и горизонтальную ось по направлению прыжка человека. Горизонтальная внешняя сила отсутствует, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса.
2. До прыжка система покоится: p_{нач x} = 0. После прыжка импульс человека равен mu, а лодка движется в противоположную сторону, поэтому её импульс равен −MV.
3. Запишем закон сохранения: 0 = mu − MV. Отсюда V = mu/M. Минус в уравнении уже учёл противоположное направление лодки.

Ответ: скорость лодки по модулю равна V = mu/M, а направлена противоположно движению человека.

Столкновение двух тел

Условие: два тела массами m₁ и m₂ движутся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями v₁ и v₂, затем сталкиваются. Известна конечная скорость второго тела v₂′. Найдём скорость первого тела v₁′ после столкновения.

1. Системой будут оба тела, а ось направим вдоль движения первого тела. Силы взаимодействия при столкновении внутренние, а горизонтальная равнодействующая внешних сил равна нулю.
2. До столкновения проекция импульса равна m₁v₁ + m₂v₂, после столкновения — m₁v₁′ + m₂v₂′. Скорости подставляются со знаками: движение против оси означает отрицательную проекцию.
3. Приравниваем импульсы: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′. После переноса получаем v₁′ = (m₁v₁ + m₂v₂ − m₂v₂′)/m₁.

Ответ: скорость первого тела определяется последней формулой с учётом выбранных направлений.

Разрыв снаряда на осколки

Условие: снаряд в полёте разрывается на несколько осколков. По массам и скоростям известных осколков требуется найти скорость неизвестного. Внешняя сила тяжести действует, но время взрыва очень мало.

1. Выберем системой снаряд и все осколки, а импульсы разложим на оси Ox и Oy. За короткое время взрыва импульсом силы тяжести можно пренебречь, поэтому обе проекции импульса приблизительно сохраняются.
2. Для каждой оси запишем сумму начальных импульсов, равную сумме конечных. Если неизвестен импульс осколка, его проекции найдём как разность между начальным импульсом системы и суммой известных импульсов.
3. Получив p_x и p_y, найдём модуль импульса p = √(p_x² + p_y²), а затем скорость v = p/m. Направление определяют по знакам двух проекций.

Ответ: скорость неизвестного осколка получают из сохранения двух проекций импульса; приближение верно, если внешним импульсом за время взрыва можно пренебречь.

Типичные ошибки

Сохраняют полный импульс при условии только одной оси. Так поступают, потому что привычно применять общий закон сохранения импульса. Проверьте проекции внешних сил по всем осям: если ноль получен только для Ox, записывайте лишь p_Σx = const.

Включают внутренние силы в сумму сил системы. Ошибка возникает, когда рассматривают силы взаимодействия между телами по отдельности и забывают, что система включает оба тела. Составьте список тел системы: силы между ними сократятся попарно.

Путают знак проекции с модулем скорости. Модуль скорости не бывает отрицательным, но её проекция может быть отрицательной. Нарисуйте положительное направление оси и поставьте знак перед каждой скоростью, направленной влево или противоположно оси.

Выбирают неподходящую систему. Если взять только лодку, сила прыгающего человека станет внешней, хотя для системы «человек–лодка» она внутренняя. Перед решением перечислите тела и проверьте, какие взаимодействия хотите исключить из уравнения.

Связь с другими темами

Для применения этой темы нужны второй закон Ньютона, сложение векторов, проекции на координатные оси и понятие импульса тела. Проекции превращают векторное уравнение в удобные алгебраические равенства.

Условие нулевой внешней силы по всем осям приводит к обычному закону сохранения импульса замкнутой системы. На этой основе разбирают столкновения, выстрелы, взрывы и реактивное движение.

Дальше идея пригодится при изучении центра масс и движения системы тел во внешнем поле. Даже при наличии внешних сил можно искать направления, в которых импульс сохраняется.

Что запомнить

• Изменение импульса системы определяется равнодействующей внешних сил.
• Внутренние силы не изменяют полный импульс системы.
• Если сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, проекция импульса на эту ось сохраняется.
• Сохранение по одной оси не означает сохранения полного векторного импульса.
• Перед решением нужно выбрать систему тел и положительное направление оси.
• В уравнениях необходимо учитывать знаки проекций скоростей и импульсов.
• Внешней считается сила со стороны тела, не включённого в рассматриваемую систему.