3. Конденсаторы в цепи постоянного тока

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, которое может накапливать электрический заряд. Проводники называют обкладками, а диэлектрик не даёт им соприкоснуться. Конденсаторы применяют для накопления заряда и энергии, а также для кратковременной отдачи энергии в электрическую цепь.

Электроёмкость конденсатора — отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Единица электроёмкости в СИ — фарад (Ф), причём 1 Ф = 1 Кл/В. Эта величина показывает, какой заряд накопится при заданном напряжении.

Ёмкость плоского конденсатора вычисляют по формуле C = ε₀εS/d. Здесь S — площадь обкладки, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, а ε₀ — электрическая постоянная. Значит, большая площадь и более подходящий диэлектрик увеличивают ёмкость, а увеличение расстояния её уменьшает.

Энергия заряженного конденсатора — энергия его электрического поля. Её можно найти по любой из равных формул: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Выбор формулы зависит от того, какие из величин C, U и q известны в задаче.

Как это устроено

При подключении конденсатора к источнику свободные электроны начинают перемещаться по внешней цепи. На одной обкладке возникает избыток электронов, поэтому она получает заряд −q, а с другой электроны уходят и появляется заряд +q. Заряды равны по модулю, потому что электроны не переходят через диэлектрик: они лишь перераспределяются между обкладками и источником.

Во время зарядки в цепи есть ток, поскольку заряд обкладок меняется со временем. По мере накопления заряда растёт напряжение на конденсаторе, и оно всё сильнее препятствует дальнейшему перемещению электронов от источника. Разность напряжений, вызывающая ток, уменьшается, поэтому ток постепенно становится меньше.

В установившемся режиме напряжение на заряженном конденсаторе становится равным напряжению источника. Заряд обкладок после этого перестаёт изменяться, а значит, прекращается и направленное перемещение заряда во внешней цепи. Поэтому идеальный конденсатор в цепи постоянного тока ведёт себя как разрыв цепи, хотя между его обкладками сохраняется электрическое поле.

При разрядке обкладки соединяют через внешний участок цепи, например резистор. Электроны начинают двигаться так, чтобы уменьшить разделение зарядов, поэтому ток направлен противоположно току при зарядке. По мере разрядки модуль заряда и напряжение уменьшаются, а вместе с ними уменьшается энергия электрического поля.

При последовательном соединении заряд, ушедший на одну обкладку, вызывает такой же по модулю заряд на соседней обкладке. Поэтому на всех конденсаторах устанавливается одинаковый заряд, а общее напряжение складывается из напряжений на отдельных элементах. При параллельном соединении все конденсаторы подключены к одной и той же паре точек, поэтому напряжение у них одинаково, а общий заряд равен сумме зарядов.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Таблица помогает сначала определить тип соединения, а затем выбрать закон сохранения заряда или одинакового напряжения. Для двух последовательных конденсаторов удобно использовать Cобщ = C₁C₂/(C₁ + C₂). После нахождения эквивалентной ёмкости остальные величины вычисляют по формулам q = CU и U = q/C.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к источнику напряжения 12 В. Требуется найти заряд на его обкладках. Используем связь электроёмкости, заряда и напряжения.

1. Переведём ёмкость в СИ: 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Из формулы C = q/U выразим заряд: q = CU.
3. Подставим значения: q = 20 · 10⁻⁶ · 12 = 240 · 10⁻⁶ Кл.

Ответ: q = 2,4 · 10⁻⁴ Кл, или 240 мкКл. На одной обкладке находится заряд +q, на другой — −q.

Задача 2

Конденсаторы 4 мкФ и 6 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику 10 В. Нужно найти эквивалентную ёмкость, общий заряд и напряжение на каждом конденсаторе. При таком соединении заряды конденсаторов одинаковы.

1. Найдём ёмкость соединения: Cобщ = C₁C₂/(C₁ + C₂) = 4 · 6/(4 + 6) = 2,4 мкФ.
2. Найдём общий заряд: q = CобщU = 2,4 · 10 = 24 мкКл.
3. Определим напряжения: U₁ = q/C₁ = 24/4 = 6 В, U₂ = q/C₂ = 24/6 = 4 В.
4. Проверим результат: 6 В + 4 В = 10 В, то есть сумма напряжений совпала с напряжением источника.

Ответ: Cобщ = 2,4 мкФ, q₁ = q₂ = 24 мкКл, U₁ = 6 В, U₂ = 4 В. Меньшая ёмкость получила большее напряжение.

Задача 3

Конденсатор ёмкостью 100 мкФ зарядили до напряжения 20 В, затем отключили от источника и подключили к резистору. Требуется определить первоначальный заряд и энергию, а также описать направление тока. Для расчёта сначала переводим микрофарады в фарады.

1. Ёмкость равна 100 · 10⁻⁶ Ф = 10⁻⁴ Ф.
2. Первоначальный заряд: q = CU = 10⁻⁴ · 20 = 2 · 10⁻³ Кл.
3. Энергия: W = CU²/2 = 10⁻⁴ · 20²/2 = 0,02 Дж.

Ответ: q = 2 мКл, W = 0,02 Дж. При разрядке ток направлен противоположно току зарядки, а заряд и напряжение постепенно уменьшаются.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что через конденсатор постоянно течёт ток в цепи постоянного тока. Так происходит из-за смешения процессов зарядки и установившегося режима. Проверьте себя: если заряд уже не меняется, то I = Δq/Δt = 0.

Ошибка: складывать заряды двух обкладок или называть зарядом их алгебраическую сумму. Обкладки имеют заряды +q и −q, поэтому такая сумма равна нулю, а в формулах используют модуль заряда одной обкладки. Записывайте сначала именно q и −q.

Ошибка: складывать ёмкости при последовательном соединении и обратные величины — при параллельном. Причина — перенос привычных правил для сопротивлений без проверки типа элемента. Для контроля сравните результат: последовательная ёмкость меньше меньшей, параллельная больше большей.

Ошибка: подставлять микрофарады прямо в формулы вместе с фарадами и кулонами. Приставка «микро» означает множитель 10⁻⁶, поэтому без перевода результат отличается в миллион раз. Перед вычислением выпишите все величины в согласованных единицах СИ.

Связь с другими темами

До изучения конденсаторов нужны связь силы тока, заряда и времени, закон Ома, а также правила соединения элементов цепи. Формула I = Δq/Δt объясняет, почему ток исчезает после окончания зарядки. Закон Ома помогает анализировать ток при разрядке через резистор.

Знание конденсаторов пригодится при изучении электрического поля, потому что энергия конденсатора связана с энергией поля между обкладками. В колебательном контуре конденсатор обменивается энергией с катушкой. Те же закономерности используются при описании зарядки и разрядки реальных электрических цепей.

Что запомнить

• Электроёмкость определяется отношением заряда обкладки к напряжению между обкладками.
• Единица электроёмкости в СИ — фарад.
• При зарядке конденсатора ток постепенно прекращается, а в установившейся цепи постоянного тока идеальный конденсатор ток не пропускает.
• При последовательном соединении конденсаторов заряды одинаковы, а напряжения складываются.
• При параллельном соединении конденсаторов напряжения одинаковы, а заряды складываются.
• Энергия заряженного конденсатора зависит от его ёмкости и напряжения.