"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Источник тока передаёт энергию внешней цепи, но часть энергии расходуется на нагрев его внутреннего сопротивления. Поэтому увеличение сопротивления нагрузки не всегда повышает полезную мощность: при малом R ток велик, но напряжение мало, а при большом R напряжение почти равно ЭДС, зато ток слабый. Максимальная мощность передаётся при равенстве сопротивлений нагрузки и источника: R = r.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутреннее сопротивление источника r — сопротивление внутри источника, например в батарее или генераторе. Оно ограничивает ток и вызывает падение напряжения внутри источника. Без учёта r нельзя правильно определить мощность, передаваемую нагрузке.
Внешняя цепь — участок цепи, подключённый к зажимам источника; его сопротивление обозначают R. Это может быть один резистор или несколько соединённых потребителей. Именно во внешней цепи обычно определяют полезную мощность.
Мощность во внешней цепи P — энергия, которую источник передаёт внешнему потребителю за единицу времени. Для резистивной нагрузки её можно вычислить по формуле P = I²R или P = UI. Эта величина показывает, насколько быстро нагрузка получает энергию.
Максимальная мощность во внешней цепи — наибольшая мощность, выделяемая во внешнем сопротивлении при заданных ε и r. Она достигается не при любом R, а при специальном согласовании сопротивлений. Это помогает подобрать нагрузку для наиболее мощной передачи энергии.
Источник и внешняя нагрузка образуют последовательную цепь, поэтому один и тот же ток проходит через внутреннее сопротивление r и сопротивление нагрузки R. Полное сопротивление цепи равно их сумме: R + r. По закону Ома для полной цепи I = ε/(R + r). Чем больше суммарное сопротивление, тем меньше ток при той же ЭДС.
Мощность внешнего потребителя равна P = I²R. Подставим сюда ток полной цепи: P = (ε/(R + r))²R = ε²R/(R + r)². В этой формуле R увеличивает мощность как сопротивление нагрузки, но одновременно рост R уменьшает ток. Именно конкуренция этих двух эффектов приводит к существованию максимума.
Если R очень мало, ток велик, однако почти всё напряжение падает на внутреннем сопротивлении источника. Напряжение нагрузки U = IR оказывается близким к нулю, поэтому и мощность P = UI мала. Если R очень велико, напряжение на нагрузке приближается к ε, но ток I = ε/(R + r) становится слабым, так что мощность снова уменьшается.
Между этими крайними случаями есть положение, в котором прирост мощности из-за увеличения R точно компенсируется уменьшением тока. Исследование функции P = ε²R/(R + r)² показывает, что её вершина находится при R = r. Это называют согласованием сопротивлений: внешняя нагрузка имеет такое же сопротивление, как и источник.
При R = r ток равен I = ε/(2r), а напряжение на нагрузке U = IR = ε/2. Максимальная мощность получается равной Pmax = ε²/(4r). Половина всей мощности выделяется во внешней цепи, а половина — внутри источника, поэтому КПД η = R/(R + r) = ½, или 50%.
В таблице собраны основные величины для полной цепи и их значения в режиме максимальной мощности. Сначала найдите нужную строку, затем подставьте известные ε, r и R в общую формулу. Последний столбец показывает, что происходит именно при согласовании сопротивлений.
| Величина или условие | Формула | Результат при R = r |
|---|---|---|
| Сила тока в полной цепи | I = ε/(R + r) | I = ε/(2r) |
| Напряжение на внешней цепи | U = IR = εR/(R + r) | U = ε/2 |
| Мощность во внешней цепи | P = I²R = ε²R/(R + r)² | Pmax = ε²/(4r) |
| Условие максимальной мощности | R = r | Выполнено |
| Максимальная мощность | Pmax = ε²/(4r) | ε²/(4r) |
| Коэффициент полезного действия источника | η = R/(R + r) | η = ½ = 50% |
Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 2 Ом, а резистор нагрузки — 4 Ом. Требуется найти ток, напряжение на резисторе и мощность внешней цепи.
Ответ: I = 2 А, U = 8 В, P = 16 Вт. Проверка по формуле P = UI даёт тот же результат: 8 · 2 = 16 Вт.
ЭДС источника равна 18 В, внутреннее сопротивление — 3 Ом. Найдём сопротивление нагрузки для максимальной мощности и саму мощность.
Ответ: нагрузка должна иметь сопротивление 3 Ом, а максимальная мощность равна 27 Вт. В этом режиме напряжение на нагрузке составляет 9 В.
Для источника с ε = 12 В и r = 1 Ом мощность внешней цепи равна 20 Вт. Нужно найти возможные R и сравнить КПД.
Ответ: возможны сопротивления 5 Ом и 0,2 Ом; больший КПД получается при R = 5 Ом. Оба режима дают 20 Вт, но в первом случае меньше доля энергии теряется внутри источника.
Максимальное сопротивление нагрузки. Иногда считают, что при большом R мощность обязательно максимальна, потому что P = I²R содержит множитель R. Но ток при этом уменьшается, и после R = r мощность падает. Проверьте себя по графику или подставьте крайние значения R в формулу.
Формула P = ε²/R. Она не учитывает внутреннее сопротивление и относится к идеальному источнику, у которого r = 0. Для реального источника нужно использовать P = ε²R/(R + r)². Если в условии дано r, оно должно появиться в расчёте.
Путаница между мощностью и КПД. Равенство R = r даёт максимальную мощность, но не максимальный КПД: η = 50%. Проверяйте, что именно требуется найти, и помните: КПД растёт при R намного больше r, тогда как мощность уже уменьшается.
ЭДС вместо напряжения нагрузки. ЭДС характеризует источник, а нагрузка получает напряжение U = IR = εR/(R + r). Подстановка ε в формулу P = U²/R завысит результат. Проверить ответ можно законом Кирхгофа: ε = U + Ir.
Для решения задач нужны закон Ома для полной цепи, формулы мощности тока и правила последовательного соединения сопротивлений. Они позволяют перейти от параметров источника к току, напряжению и мощности нагрузки.
Тема связана с внутренним сопротивлением источника, напряжением на его зажимах и коэффициентом полезного действия. Изменение R одновременно меняет ток, напряжение и долю энергии, которая теряется внутри источника.
Условие R = r применяют при согласовании источника с нагрузкой. Такой подбор важен в электротехнике, радиотехнике и электронике, когда нужно передать потребителю наибольшую мощность.
Почему нельзя получить максимальную мощность, подключив нагрузку с сопротивлением, близким к нулю?
При почти нулевом R ток действительно велик, но напряжение на нагрузке U = IR почти равно нулю. Поэтому произведение P = UI, а значит и мощность нагрузки, также мало: значительная энергия выделяется внутри источника.
Почему условие максимальной мощности требует равенства R и r?
Мощность P = ε²R/(R + r)² одновременно зависит от тока и сопротивления нагрузки. При R < r выгодно увеличивать R, а при R > r уменьшение тока становится сильнее роста сопротивления. Баланс достигается в точке R = r.
Чем максимальная мощность отличается от максимального КПД?
Максимальная мощность означает наибольшую энергию, передаваемую нагрузке за единицу времени. При R = r КПД равен только 50%, потому что половина мощности теряется внутри источника. КПД растёт при увеличении R и приближается к 100%, но мощность при этом уменьшается.
Может ли внешний потребитель получить мощность больше ε²/(4r)?
Нет, для источника с заданными ЭДС ε и внутренним сопротивлением r это предельная мощность внешней цепи. Она достигается только при согласовании сопротивлений R = r. При любом другом сопротивлении мощность меньше.
Почему при одном и том же значении мощности могут существовать два сопротивления нагрузки?
График зависимости мощности от R возрастает до точки R = r, а затем убывает. Поэтому одна и та же мощность, меньшая максимальной, может соответствовать одному сопротивлению слева и другому справа от r. Эти режимы имеют разные ток, напряжение и КПД.
2. Максимальная мощность во внешней цепи
