3. Максимальная мощность во внешней цепи

Определения и обозначения

Мощность во внешней цепи — энергия, передаваемая внешнему потребителю за единицу времени. Для тока I, проходящего через внешнее сопротивление R, она равна P_внеш = I²R. Эта формула позволяет определить, сколько энергии получает нагрузка каждую секунду.

Внешнее сопротивление R — сопротивление потребителя или всей внешней части цепи. Именно на этом сопротивлении рассматривают полезную для потребителя мощность. Например, для одного резистора R — его сопротивление, а для нескольких последовательно соединённых резисторов — их общее сопротивление.

Внутреннее сопротивление r — сопротивление самого источника тока. Из-за него часть энергии превращается во внутреннюю теплоту и не передаётся нагрузке. Чем больше r, тем меньше ток при той же ЭДС и тем труднее источнику отдавать энергию внешней цепи.

Режим максимальной мощности — состояние цепи, при котором внешняя мощность достигает наибольшего значения. Для источника с постоянными ε и r это происходит при R = r. Условие помогает выбрать сопротивление нагрузки, если требуется получить от источника как можно больше мощности.

Как это устроено

Цепь удобно представить как источник с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, соединённый с внешним сопротивлением R. Оба сопротивления включены последовательно, поэтому полное сопротивление равно R + r. По закону Ома для полной цепи сила тока равна I = ε/(R + r): часть напряжения падает на источнике, а остальная часть — на нагрузке.

Мощность внешней цепи вычисляют как P_внеш = I²R. Подставляя выражение для тока, получаем P_внеш = ε²R/(R + r)². В этой формуле видно соперничество двух эффектов: увеличение R само по себе повышает множитель R, но одновременно уменьшает ток через знаменатель R + r.

Если R = 0, внешняя цепь замкнута почти без сопротивления. Ток при этом максимален и равен ε/r, но множитель R в формуле мощности равен нулю, поэтому нагрузка не получает энергии. При очень большом R ток стремится к нулю, и произведение I²R тоже уменьшается.

Чтобы найти максимум зависимости, можно ввести x = R/r. Тогда P_внеш/P_max = 4x/(1 + x)². При x = 1 числитель и знаменатель дают значение 1, а при отклонении x от единицы выражение становится меньше. Следовательно, максимум достигается при R/r = 1, то есть при R = r.

Подставим R = r в формулу мощности: P_max = ε²r/(2r)² = ε²/(4r). Сила тока в этом режиме I = ε/(2r), а напряжение на нагрузке U = IR = ε/2. КПД источника η = P_внеш/(εI) = R/(R + r), поэтому при R = r он равен ½, или 50%: столько же мощности выделяется внутри источника.

Параметры цепи при различных значениях внешнего сопротивления

Сначала выберите в таблице нужный параметр и подставьте известные величины в общую формулу. Последний столбец показывает, как меняются все характеристики именно в режиме максимальной мощности. Сравнение двух столбцов помогает не перепутать максимальную мощность с максимальным током или максимальным КПД.

Разбор задач

Задача 1

Источник имеет ε = 12 В и r = 2 Ом, а резистор нагрузки имеет R = 2 Ом. Нужно найти ток, напряжение на резисторе и внешнюю мощность. Здесь сразу видно, что R = r, значит, цепь работает в режиме максимальной мощности.

1. Полное сопротивление равно R + r = 2 Ом + 2 Ом = 4 Ом. Поэтому I = ε/(R + r) = 12/4 = 3 А.
2. Напряжение на резисторе находим по закону Ома: U = IR = 3 · 2 = 6 В. Оно равно половине ЭДС, что подтверждает режим R = r.
3. Мощность нагрузки P_внеш = I²R = 3² · 2 = 18 Вт. Ответ: I = 3 А, U = 6 В, P_внеш = 18 Вт.

Задача 2

Дано ε = 24 В и r = 1 Ом. Требуется подобрать нагрузку, получить максимальную мощность и определить КПД. Поскольку регулируется внешнее сопротивление, применяем условие согласования R = r.

1. Сопротивление нагрузки должно быть R = 1 Ом. Это не означает короткое замыкание: нулевым является только сопротивление при R = 0, а здесь нагрузка равна внутреннему сопротивлению источника.
2. Максимальная мощность P_max = ε²/(4r) = 24²/(4 · 1) = 576/4 = 144 Вт. Можно проверить результат через I = 24/(1 + 1) = 12 А и P = I²R = 144 Вт.
3. КПД η = R/(R + r) = 1/(1 + 1) = 0,5 = 50%. Ответ: R = 1 Ом, P_max = 144 Вт, η = 50%.

Задача 3

Пусть ε = 12 В, r = 2 Ом, а внешняя мощность равна 16 Вт. Нужно найти все сопротивления нагрузки. Подставляем данные в P = ε²R/(R + r)² и учитываем, что мощность меньше максимальной: P_max = 12²/(4 · 2) = 18 Вт.

1. Получаем 16 = 144R/(R + 2)². После умножения на (R + 2)² имеем 16(R + 2)² = 144R, или (R + 2)² = 9R.
2. Раскрываем скобки: R² + 4R + 4 = 9R, откуда R² − 5R + 4 = 0. Корни уравнения: R = 1 Ом и R = 4 Ом.
3. Оба ответа подходят: сопротивления 1 Ом и 4 Ом дают по 16 Вт. Это возможно потому, что одна и та же мощность ниже максимальной получается до и после точки R = r = 2 Ом.

Типичные ошибки

Максимальная мощность означает максимальный ток. Ток действительно максимален при коротком замыкании, но там R = 0 и мощность нагрузки равна нулю. Проверяйте отдельно формулы I и P_внеш, а не делайте вывод только по току.

Условие максимума принимают за R = 0. Такое сопротивление описывает короткое замыкание, а не режим максимальной мощности. Правильное условие сравнивает внешнее сопротивление с внутренним: R = r.

Используют формулу ε²/R. В ней не учтено, что ток зависит от полного сопротивления цепи. Сначала найдите I = ε/(R + r), затем подставьте его в P = I²R и получите ε²R/(R + r)².

Считают КПД равным 100%. При R = r половина энергии теряется внутри источника, поэтому η = 50%. Проверка проста: сравните мощности I²R и I²r — при равных сопротивлениях они одинаковы.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Ома для полной цепи, понятия ЭДС и внутреннего сопротивления, а также формулы работы и мощности электрического тока. Без них невозможно связать параметры источника с энергией, получаемой нагрузкой.

Тема опирается на последовательное соединение сопротивлений: внутреннее и внешнее сопротивления складываются. Она также показывает действие закона сохранения энергии и позволяет рассчитать КПД источника.

Результат применяется при согласовании источника и нагрузки, выборе сопротивления потребителя и анализе электрических и электронных схем. На практике условие R = r используют, когда важна максимальная отдаваемая мощность.

Что запомнить

• Сила тока в полной цепи равна I = ε/(R + r).
• Мощность внешней цепи равна P_внеш = ε²R/(R + r)².
• При R = 0 и при R → ∞ мощность внешней цепи стремится к нулю.
• Максимальная мощность передаётся нагрузке, когда R = r.
• Максимальная мощность равна P_max = ε²/(4r).
• В режиме максимальной мощности напряжение на нагрузке равно половине ЭДС источника.
• КПД источника в режиме максимальной мощности равен 50%.