"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Источник тока передаёт энергию подключённой нагрузке, но часть энергии расходуется на его внутреннем сопротивлении. Поэтому увеличение сопротивления нагрузки не приводит к бесконечному росту мощности: ток уменьшается. Максимальная мощность во внешней цепи достигается при равенстве сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника: R = r. Это условие помогает выбирать нагрузку и рассчитывать работу электрических цепей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
ЭДС источника — величина, равная работе сторонних сил по переносу единичного заряда внутри источника; её обозначают ε. ЭДС показывает, какую энергию источник сообщает каждому кулону заряда. Она нужна для расчёта тока и мощности всей цепи.
Внутреннее сопротивление источника — сопротивление его внутренних частей, обозначаемое r. Из-за него часть энергии превращается в тепло внутри батареи или другого источника. Учитывать r необходимо, чтобы правильно найти ток и потери мощности.
Мощность во внешней цепи — мощность, выделяющаяся на подключённом сопротивлении R: P = I²R. Она показывает, с какой скоростью нагрузка получает электрическую энергию. По этой величине оценивают полезную работу резистора, лампы или другого устройства.
Максимальная мощность во внешней цепи — наибольшая мощность, которую источник способен передать нагрузке. Она достигается при условии R = r. Это условие называют согласованием сопротивлений и используют при выборе нагрузки.
Для полной цепи внешнее сопротивление R и внутреннее сопротивление r соединены последовательно, поэтому ток проходит через оба участка. По закону Ома для полной цепи I = ε/(R + r). В знаменателе стоит сумма сопротивлений: часть напряжения источника падает на его внутренних частях, и до нагрузки доходит не вся ЭДС.
Мощность внешней цепи вычисляют по формуле P = I²R. Подставляя в неё ток, получают P = ε²R/(R + r)². Поэтому мощность нельзя считать просто пропорциональной R: при изменении нагрузки одновременно меняется и сила тока.
Если R мало, увеличение сопротивления нагрузки заметно повышает множитель R в формуле мощности. Доля энергии, поступающая во внешнюю цепь, также становится больше, поскольку сравнительно меньшая часть расходуется внутри источника. Уменьшение тока на этом участке ещё не слишком велико, поэтому итоговая мощность растёт.
При дальнейшем увеличении R ток уменьшается уже существенно, так как растёт сумма R + r. Квадрат тока в формуле начинает сильнее влиять на результат, чем само увеличение сопротивления. Поэтому мощность после некоторого значения R уменьшается и при очень большой нагрузке стремится к нулю.
Максимум выражения P = ε²R/(R + r)² получается при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений: R = r. Подстановка этого условия даёт Pmax = ε²/(4r). При таком согласовании мощности на нагрузке и внутри источника равны, поэтому половина всей выделяемой мощности теряется внутри источника.
В таблице сравниваются четыре положения нагрузки относительно внутреннего сопротивления источника. Для конкретных значений ε и r можно подставить R в формулу P = ε²R/(R + r)². Сравнение с Pmax помогает быстро определить, близка ли нагрузка к условию максимальной мощности.
| Условие | Мощность P | Сравнение с максимальной |
|---|---|---|
| R < r | ε²R/(R + r)² | Меньше Pmax; при росте R увеличивается |
| R = r | ε²/(4r) | Равна Pmax |
| R > r | ε²R/(R + r)² | Меньше Pmax; при росте R уменьшается |
| R намного больше r | Приблизительно ε²/R | Близка к нулю |
Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 2 Ом, а резистор нагрузки тоже имеет сопротивление 2 Ом. Требуется найти ток и мощность на резисторе. Равенство R и r сразу подсказывает, что в цепи реализуется максимальная мощность.
Ответ: I = 3 А, P = 18 Вт. Поскольку R = r, найденная мощность является максимальной и совпадает с ε²/(4r).
ЭДС источника равна 9 В, внутреннее сопротивление — 3 Ом. Нужно подобрать сопротивление нагрузки для максимальной мощности и вычислить эту мощность. Здесь не требуется перебирать разные значения R, потому что условие максимума известно заранее.
Ответ: нагрузка должна иметь сопротивление 3 Ом, а её максимальная мощность равна 6,75 Вт.
Источник с ЭДС 18 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключают к нагрузкам 1 Ом, 2 Ом и 8 Ом. Для каждой нагрузки используем одну и ту же формулу P = ε²R/(R + r)². После вычислений сравним результаты с условием R = r.
Ответ: мощности равны соответственно 36 Вт, 40,5 Вт и 25,92 Вт. Наибольшая мощность получается при R = 2 Ом, то есть при равенстве сопротивлений.
Ошибка 1. Считают, что мощность всегда растёт вместе с R, видя множитель R в формуле P = I²R. Забывают, что ток при этом уменьшается. Проверка: сначала подставьте I = ε/(R + r), а затем сравните значения всей формулы.
Ошибка 2. Максимум связывают с R = 0 или с разомкнутой цепью. При R = 0 мощность равна I² · 0, а при очень большом R ток стремится к нулю, поэтому в обоих случаях мощность нагрузки равна нулю. Проверяйте крайние случаи перед поиском максимума.
Ошибка 3. В законе Ома используют I = ε/R и не учитывают внутреннее сопротивление. Такое выражение описывает не полную цепь и завышает ток. Записывайте знаменатель как R + r, если источник имеет внутреннее сопротивление.
Ошибка 4. Максимальную мощность путают с максимальным КПД. При R = r половина мощности выделяется внутри источника, поэтому КПД равен 50 %. Разделяйте мощность нагрузки и долю энергии, дошедшую до неё.
Для решения задач нужны закон Ома для полной цепи, понятия ЭДС и внутреннего сопротивления. Без них нельзя правильно определить ток и распределение напряжения между источником и нагрузкой.
Тема опирается на закон сохранения энергии: энергия источника распределяется между внешней цепью и его внутренними частями. Формула мощности электрического тока показывает, с какой скоростью происходит это превращение энергии.
Условие согласования сопротивлений применяют при выборе нагрузки источника и изучении передачи электрической энергии. Оно помогает получить наибольшую мощность от конкретного источника, хотя не обеспечивает максимальный КПД.
Почему при увеличении сопротивления нагрузки мощность сначала растёт, а затем падает?
При небольшом сопротивлении увеличение R позволяет нагрузке получать большую долю энергии источника. Но одновременно сила тока уменьшается по закону I = ε/(R + r). После некоторого значения это уменьшение становится сильнее, чем рост R, поэтому мощность падает.
Почему максимальная мощность достигается именно при равенстве R и r?
Мощность нагрузки определяется сразу двумя противоположными факторами: сопротивлением R и током I. При R = r их влияние уравновешивается, и выражение P = ε²R/(R + r)² принимает наибольшее значение.
Как найти максимальную мощность, если известны ЭДС и внутреннее сопротивление источника?
Сначала используют условие максимума: сопротивление нагрузки должно быть равно r. Затем подставляют ЭДС и внутреннее сопротивление в формулу Pmax = ε²/(4r).
Почему при максимальной мощности половина энергии теряется внутри источника?
При R = r одинаковый ток проходит через внешнее и внутреннее сопротивления. Поэтому мощности I²R и I²r равны. Половина всей выделяемой мощности приходится на внутренние части источника.
Означает ли максимальная мощность нагрузки, что КПД источника тоже максимален?
Нет. При максимальной мощности нагрузки R = r КПД равен только 50 %, поскольку такая же мощность выделяется внутри источника. Максимальный КПД достигается при значительно большем сопротивлении нагрузки, хотя передаваемая мощность при этом меньше.
2. Максимальная мощность во внешней цепи
