4. Конденсаторы в цепи постоянного тока

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть изолятора. Проводники называют обкладками, а на условных схемах конденсатор обозначают двумя параллельными линиями. Его используют, чтобы накапливать заряд и энергию электрического поля и затем отдавать их электрической цепи.

Электрическая ёмкость — отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому в формуле берут заряд одной обкладки. Единица ёмкости — фарад (Ф); эта величина позволяет сравнивать, сколько заряда конденсаторы накапливают при одинаковом напряжении.

Ёмкость плоского конденсатора зависит от площади S каждой обкладки, расстояния d между ними и материала диэлектрика. Эта зависимость выражается формулой C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Формула помогает понять, как изменить устройство, чтобы увеличить или уменьшить его ёмкость.

Энергия заряженного конденсатора — энергия электрического поля между обкладками. Её можно вычислить по формулам W = CU²/2 и W = qU/2, где U — напряжение, q — заряд одной обкладки. Эти выражения позволяют найти запас энергии по известным параметрам конденсатора.

Как это устроено

Когда конденсатор подключают к источнику, источник создаёт условия для перемещения зарядов по проводам: на одной обкладке накапливается избыток электронов, на другой возникает их недостаток. Разделяющий обкладки диэлектрик не позволяет зарядам перейти напрямую с одной на другую, поэтому они остаются на разных обкладках. Перераспределение продолжается, пока напряжение на конденсаторе не станет равным напряжению источника; тогда дальнейшее перемещение зарядов прекращается.

После зарядки диэлектрик по-прежнему не пропускает заряды между обкладками. В установившемся режиме постоянный ток через идеальный конденсатор поэтому равен нулю, хотя провода могут соединять его с источником. Во время зарядки ток существует, потому что заряды движутся по внешним участкам цепи и накапливаются на обкладках. Реальный диэлектрик может слегка проводить ток, но в школьных расчётах этим обычно пренебрегают.

Рассмотрим источник, резистор и незаряженный конденсатор, соединённые последовательно. Сразу после замыкания ток велик, потому что напряжение на конденсаторе ещё мало и почти всё напряжение источника приходится на резистор. По мере накопления заряда напряжение конденсатора растёт, а напряжение на резисторе и ток уменьшаются согласно закону Ома. Когда напряжение конденсатора сравняется с напряжением источника, ток прекратится.

Если заряженный конденсатор соединить с резистором, он начнёт разряжаться: заряды перемещаются по внешней цепи, уменьшая избыток на одной обкладке и недостаток на другой. Поэтому одновременно уменьшаются заряд и напряжение конденсатора. Запасённая энергия не исчезает: при разрядке через резистор она превращается главным образом во внутреннюю энергию резистора, то есть нагревает его. Скорость изменения тока и напряжения зависит от ёмкости и сопротивления цепи.

При последовательном соединении заряд проходит через элементы цепи по одному пути, поэтому модули зарядов конденсаторов одинаковы, а общее напряжение складывается из напряжений на каждом. При параллельном соединении все конденсаторы подключены к одним и тем же двум точкам, значит, напряжение на них одинаково. Источник распределяет заряд между параллельными ветвями, поэтому общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов. Эти правила позволяют заменить группу конденсаторов одним эквивалентным.

Основные свойства конденсаторов и их соединений

Сначала определите, как соединены обкладки: это подскажет, какая величина общая и что нужно складывать. Затем используйте подходящую формулу эквивалентной ёмкости и при необходимости связь q = CU. Для зарядки и разрядки таблица показывает направление изменения величин, а не их точные значения в каждый момент времени.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к источнику напряжением 12 В. Найдём заряд конденсатора. Дано напряжение непосредственно на конденсаторе, так как он подключён к источнику; используем q = CU. Перед подстановкой переведём микрофарады в фарады.

1. Переводим ёмкость: C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставляем значения: q = CU = 20 · 10⁻⁶ · 12 = 240 · 10⁻⁶ Кл.
3. Переводим результат в удобные единицы: q = 240 мкКл.

Ответ: заряд одной обкладки по модулю равен 240 мкКл. На другой обкладке заряд такой же по модулю, но противоположного знака.

Задача 2. Конденсаторы ёмкостью 4 мкФ и 6 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику 10 В. Найдём общую ёмкость и заряд каждого. При таком соединении заряды по модулю равны, поэтому достаточно определить общую ёмкость, а затем найти общий заряд по напряжению источника.

1. Записываем формулу последовательного соединения: 1/Cобщ = 1/4 + 1/6 = 5/12, если ёмкости выражены в мкФ.
2. Получаем Cобщ = 12/5 мкФ = 2,4 мкФ.
3. Находим заряд: q = CобщU = 2,4 · 10 = 24 мкКл.
4. Так как соединение последовательное, заряд каждого конденсатора по модулю равен общему: q₁ = q₂ = 24 мкКл.

Ответ: общая ёмкость равна 2,4 мкФ, заряд каждого конденсатора — 24 мкКл.

Задача 3. Конденсатор ёмкостью 100 мкФ заряжен до 20 В и полностью разрядился через резистор за 0,5 с. Найдём запасённую энергию и среднюю мощность, выделившуюся в резисторе. Сначала определим энергию до разрядки, а затем разделим её на время, за которое эта энергия была передана.

1. Переводим ёмкость: C = 100 мкФ = 100 · 10⁻⁶ Ф = 10⁻⁴ Ф.
2. Вычисляем энергию: W = CU²/2 = 10⁻⁴ · 20²/2 = 0,02 Дж.
3. Находим среднюю мощность: Pср = W/t = 0,02/0,5 = 0,04 Вт.

Ответ: энергия конденсатора равна 0,02 Дж, средняя мощность — 0,04 Вт. Проверка единиц: джоуль, делённый на секунду, даёт ватт.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что через конденсатор постоянно течёт ток после завершения зарядки. Её допускают, потому что конденсатор подключён к проводам источника и внешне напоминает обычный элемент цепи. Проверьте режим: если напряжение установилось и цепь идеальная, заряд больше не меняется, значит, ток равен нулю.

Ошибка — подставлять напряжение источника в q = CU, не выяснив напряжение на самом конденсаторе. При соединении с другими элементами напряжение источника может распределяться между ними, поэтому эти значения не всегда совпадают. Нарисуйте схему и определите напряжение именно между обкладками; подставлять напряжение источника можно, если конденсатор подключён непосредственно к нему.

Ошибка — путать, что одинаково при разных соединениях. Часто запоминают, что «одна величина общая», но не проверяют устройство схемы. При последовательном соединении одинаковы по модулю заряды, а напряжения складываются; при параллельном одинаково напряжение, а складываются заряды. Проверка через подключённые узлы помогает не перепутать правила.

Ошибка — складывать ёмкости при последовательном соединении или складывать обратные величины при параллельном. Так происходит из-за переноса правил, знакомых по резисторам, где формулы эквивалентного сопротивления для этих случаев устроены наоборот. Сверьте расчёт с физическим смыслом: последовательная ёмкость меньше наименьшей из отдельных, а параллельная больше каждой из них.

Связь с другими темами

Для изучения конденсаторов нужны понятия электрического заряда, напряжения и силы тока: они описывают, сколько зарядов накоплено и как они движутся в цепи. Закон Ома помогает понять, почему ток при зарядке через резистор уменьшается по мере роста напряжения на конденсаторе. Формула q = CU объединяет заряд и напряжение через ёмкость.

Представление о зарядке и разрядке пригодится при изучении переходных процессов — изменений тока и напряжения после переключения цепи. Конденсаторы используют и в колебательных контурах, где энергия переходит между электрическим и магнитным полями. В электронных устройствах они могут накапливать энергию, сглаживать изменения напряжения и участвовать в формировании сигналов.

Что запомнить

• Ёмкость конденсатора C = q/U измеряется в фарадах.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• В установившемся режиме постоянный ток через идеальный конденсатор не течёт.
• При последовательном соединении конденсаторов заряды равны, а напряжения складываются.
• При параллельном соединении напряжения равны, а заряды складываются.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2.