"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём, температуру и количество вещества. Оно помогает находить неизвестный параметр газа при нагревании, охлаждении, сжатии и расширении. Для одной и той же порции газа используют соотношение pV/T = const, а если известны масса и молярная масса, количество вещества находят как ν = m/M. Все температуры в расчётах выражают в кельвинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение состояния идеального газа — это связь между давлением p, объёмом V, количеством вещества ν и температурой T: pV = νRT. Оно описывает состояние газа в выбранный момент. С его помощью по известным величинам находят неизвестную.
Универсальная газовая постоянная R — величина, одинаковая для всех газов в этой модели; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она связывает механические параметры газа с количеством вещества и абсолютной температурой. В расчётах значение R определяет согласованные единицы.
Молярная масса M — масса одного моля вещества. Она позволяет перейти от массы газа m к количеству вещества: ν = m/M. Это нужно, когда в условии дана масса, а не число молей.
Уравнение Менделеева—Клапейрона имеет вид pV = (m/M)RT. Оно получается заменой ν на m/M в основном уравнении. Такая форма удобна в задачах, где известны масса и состав газа.
Состояние газа задают его давлением, объёмом, температурой и количеством вещества. При нагревании частицы движутся быстрее и чаще ударяются о стенки, поэтому давление или объём могут измениться. Уравнение pV = νRT связывает эти изменения, так что при известных трёх параметрах можно вычислить четвёртый.
Для одной порции газа число молекул не меняется, значит, ν и R постоянны. Если разделить уравнение состояния на T, получится pV/T = νR, а правая часть не изменяется. Поэтому для начального и конечного состояний можно записать p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
Когда в условии указана масса газа, сначала нужно понять, сколько это молей. Один моль любого вещества имеет массу M, поэтому в массе m содержится ν = m/M молей. Подстановка этого выражения в уравнение состояния даёт форму pV = (m/M)RT.
При постоянных объёме и количестве вещества произведение νRT меняется только из-за температуры. Поэтому давление должно изменяться вместе с T: p/T = const. При постоянных давлении и количестве вещества отношение V/T остаётся неизменным, поскольку увеличение температуры требует пропорционального увеличения объёма.
В задачах сначала определяют, какие величины постоянны и какие состояния сравниваются. Температуру переводят в кельвины: T = t + 273, а единицы выбирают согласованно с R. Если R выражена в Дж/(моль·К), давление берут в паскалях, а объём — в кубических метрах.
| Условия | Связь параметров | Формула для расчёта |
|---|---|---|
| Любое состояние газа | Давление, объём и температура связаны уравнением состояния | pV = νRT |
| Масса и состав газа известны | Количество вещества определяется через массу и молярную массу | pV = (m/M)RT |
| Одна и та же порция газа переходит из состояния 1 в состояние 2 | Количество вещества постоянно | p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ |
| Объём и количество вещества постоянны | Давление пропорционально абсолютной температуре | p₁/T₁ = p₂/T₂ |
| Давление и количество вещества постоянны | Объём пропорционален абсолютной температуре | V₁/T₁ = V₂/T₂ |
Сначала найдите в условии постоянные величины и выберите строку, соответствующую процессу. Если постоянен только состав порции газа, используйте сравнение двух состояний. Перед подстановкой проверьте кельвины, паскали, кубические метры и единицы количества вещества.
В баллоне объёмом 10 л находится 0,4 моль газа при температуре 300 К. Требуется найти давление. Используем основное уравнение состояния, потому что известны V, ν и T.
Ответ: p ≈ 1,0 · 10⁵ Па, или примерно 100 кПа. Перевод литров обязателен, потому что R задана через джоуль и кубический метр.
Газ массой 2 г и молярной массой 4 г/моль занимает 5 л при температуре 300 К. Нужно определить давление. Сначала найдём количество вещества, так как именно оно входит в уравнение состояния.
Ответ: p ≈ 2,5 · 10⁵ Па, или 249 кПа. Массу и молярную массу здесь можно оставить в граммах, потому что их единицы сокращаются в отношении m/M.
В закрытом сосуде при 280 К давление газа равно 100 кПа. До какого значения нужно нагреть газ, чтобы давление стало 150 кПа? Закрытый сосуд сохраняет количество газа, а его объём постоянен.
Ответ: газ нужно нагреть до 420 К, то есть примерно до 147 °C. Давление увеличилось в 1,5 раза, поэтому при постоянном объёме во столько же раз возросла абсолютная температура.
Температуру подставляют в градусах Цельсия. Так делают из-за привычки пользоваться показаниями термометра напрямую, но формула требует абсолютную температуру. Проверьте себя: перед расчётом должно быть T = t + 273 и единица К.
Считают pV/T постоянным при изменении количества газа. Это соотношение выводится при постоянном ν, поэтому оно не подходит для утечки, добавления или удаления газа. Уточните, идёт ли речь об одной и той же порции вещества.
Не переводят литры и килопаскали. Ошибка появляется, когда единицы из условия механически подставляют рядом с R в Дж/(моль·К). Если используете это значение R, проверьте: объём в м³, давление в Па.
Путают массу с количеством вещества. В уравнении стоит ν, а не m, поэтому простая подстановка массы неверна. Сначала вычислите ν = m/M и убедитесь, что ответ выражен в молях.
Перед решением таких задач нужны понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы. Также важно уметь переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины. Без этого нельзя правильно сравнить состояния газа.
Уравнение состояния применяют к нагреванию и охлаждению, сжатию и расширению газа. По условию процесса выбирают, какая величина постоянна, и получают нужное соотношение параметров. Поэтому формула связывает разные частные газовые законы.
Тема опирается на молекулярно-кинетическую теорию: давление объясняется ударами молекул о стенки, а температура связана с их движением. Позже эти представления используются при изучении термодинамических процессов. Уравнение состояния становится основой расчётов в этих темах.
Почему температуру в уравнении состояния нужно выражать в кельвинах?
Уравнение состояния использует абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля. Шкала Кельвина начинается с этой точки, поэтому она прямо связана с физическим смыслом формулы. Перевод выполняют так: T = t + 273.
Когда можно использовать соотношение p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂?
Это соотношение применимо для одной и той же порции газа, то есть при постоянном количестве вещества. Газ может переходить из одного состояния в другое, но утечки и добавления газа быть не должно.
Как найти количество вещества, если известны масса газа и его молярная масса?
Нужно разделить массу газа на молярную массу: ν = m/M. Если масса дана в граммах, а молярная масса — в граммах на моль, результат получится в молях.
Какие единицы давления и объёма удобно использовать с универсальной газовой постоянной?
При R = 8,31 Дж/(моль·К) давление выражают в паскалях, а объём — в кубических метрах. Например, 10 л = 0,010 м³, а 100 кПа = 100 000 Па.
Как понять, какая из величин в задаче остаётся постоянной?
Нужно внимательно проверить условие: закрытый сосуд обычно означает постоянное количество газа, а жёсткий сосуд — постоянный объём. Если сказано, что давление поддерживается постоянным, используют зависимость V/T = const. Постоянные величины также можно определить по описанию установки.
§ 46. Применение уравнения состояния идеального газа
