"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём, температуру и количество вещества. Оно помогает находить неизвестный параметр газа, если известны остальные, а также сравнивать состояния одной и той же порции при нагревании, охлаждении или изменении объёма. Главная формула — pV = νRT. Для расчётов температуру обязательно выражают в кельвинах, а единицы измерения приводят к согласованной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением p, объёмом V, температурой T и количеством вещества ν: pV = νRT. Давление измеряют в паскалях, объём — в кубических метрах, количество вещества — в молях, температуру — в кельвинах. Идеальный газ — модель, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают. Уравнение используют, чтобы по известным параметрам найти неизвестный или сравнить состояния газа.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент, который связывает параметры газа в уравнении состояния. Её значение приблизительно равно 8,31 Дж/(моль·К). Она называется универсальной, потому что имеет одно и то же значение для разных идеальных газов. При вычислениях единицы R согласуются с паскалями, кубическими метрами и кельвинами.
Уравнение состояния для постоянной массы газа записывают как pV/T = const. Оно следует из pV = νRT: если количество вещества ν неизменно, то и произведение νR постоянно. Для одной порции газа это позволяет сопоставлять два состояния по формуле p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Такая запись полезна, когда часть величин меняется, но газ не входит в сосуд и не выходит из него.
Плотность газа — отношение его массы к занимаемому объёму: ρ = m/V. Подставив в уравнение состояния ν = m/M и разделив его на V, получают ρ = pM/(RT), где M — молярная масса газа. Эта формула связывает плотность с давлением, молярной массой и абсолютной температурой. Она помогает находить плотность, даже если масса и объём по отдельности неизвестны.
Чтобы получить соотношение для двух состояний одной порции газа, сначала записывают p₁V₁ = νRT₁ и p₂V₂ = νRT₂. В обоих уравнениях ν и R одинаковы, потому что количество вещества не изменилось, а R — постоянная. Разделив каждое равенство на соответствующую температуру, можно приравнять результаты: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Если меняется количество газа, сокращать ν уже нельзя, поэтому такой переход будет неверным.
Для одного состояния порядок решения прямой: записать pV = νRT, подставить известные величины и выразить искомую. Например, давление находят как p = νRT/V, а объём — как V = νRT/p. До вычислений полезно перевести все значения в согласованные единицы: литры — в кубические метры, килопаскали — в паскали. После расчёта проверяют, получилась ли нужная единица и правдоподобен ли результат.
Если в условии дана масса, количество вещества заменяют отношением ν = m/M. Это отношение показывает, сколько молей содержится в массе m, если каждый моль имеет массу M. После подстановки получается pV = (m/M)RT, где важно взять массу и молярную массу в одинаковой системе единиц. Например, массу в килограммах делят на молярную массу в килограммах на моль.
Чтобы вывести формулу плотности, начинают с pV = (m/M)RT и делят обе части на объём V. Поскольку m/V — это плотность, левая часть преобразуется к связи с ρ, а результатом становится ρ = pM/(RT). При фиксированных p и T плотность прямо пропорциональна M: в одинаковом объёме более тяжёлых молей будет больше массы. Поэтому газ с большей молярной массой плотнее, если давление и температура у газов одинаковы.
В задачах с несколькими изменениями сначала чётко различают начальное и конечное состояния. Для каждого состояния записывают свои p, V и T, а затем применяют уравнение состояния или соотношение для постоянной порции газа. Индексы 1 и 2 помогают не перепутать значения до и после изменения. Такой способ особенно важен, когда меняются сразу давление, объём и температура: нельзя подставлять параметры одного состояния в формулу другого.
| Ситуация | Запись | Когда применять |
|---|---|---|
| Произвольное состояние газа | pV = νRT | Когда известны или требуется найти параметры одного состояния |
| Одна и та же порция газа в двух состояниях | p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ | Когда количество газа не меняется, но изменяются давление, объём или температура |
| Известны масса и молярная масса газа | pV = (m/M)RT | Когда количество вещества нужно выразить через массу |
| Нахождение плотности | ρ = pM/(RT) | Когда требуется связать плотность газа с давлением и температурой |
Сначала определите, описывает ли задача одно состояние или переход между двумя состояниями. Затем выберите строку таблицы по известным данным: при заданной массе удобно заменить количество вещества отношением m/M. Перед подстановкой проверьте, что газ остаётся той же порцией, если используете формулу для двух состояний.
В сосуде объёмом 10 л находится 0,5 моль идеального газа при температуре 300 К. Требуется найти давление. Объём дан не в кубических метрах, поэтому сначала переводим 10 л в 0,010 м³. Используем уравнение для одного состояния, так как известны количество вещества, температура и объём.
Ответ: давление газа приблизительно равно 1,25 · 10⁵ Па. Такое значение получается в паскалях, потому что использованы единицы СИ. Если оставить объём в литрах, результат при той же подстановке окажется ошибочным.
Газ нагрели от 300 К до 450 К, начальное давление равно 100 кПа. Сосуд закрыт и его объём не меняется, поэтому количество газа и объём постоянны. В общей формуле для двух состояний одинаковые объёмы сокращаются, и остаётся p₁/T₁ = p₂/T₂. Значит, давление растёт в том же отношении, что и абсолютная температура.
Ответ: конечное давление равно 150 кПа. Температура увеличилась в полтора раза, поэтому во столько же раз увеличилось давление. Вывод верен именно для закрытого сосуда постоянного объёма.
В баллоне объёмом 20 л находится 0,56 кг азота при 280 К. Нужно найти давление, используя молярную массу азота N₂, равную примерно 0,028 кг/моль. Сначала переводим объём: 20 л = 0,020 м³. Затем находим количество вещества и подставляем его в уравнение состояния.
Ответ: p ≈ 2,33 · 10⁶ Па, или 2,33 МПа. Перед вычислением и объём, и масса были выражены в согласованных единицах. Большое давление объясняется тем, что значительное количество газа находится в небольшом объёме.
Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов даёт неверный результат, потому что формула использует абсолютную температуру. Так ошибаются, если механически берут значение из условия, не проверив шкалу. Переведите температуру: T = t + 273,15. Самопроверка проста: в расчёте уравнения состояния температура должна быть положительной и указана в К.
Смешивание единиц объёма, давления или массы нарушает численный расчёт, даже если формула выбрана правильно. Например, литры нельзя подставлять как кубические метры, а килопаскали — как паскали без пересчёта. Перед вычислениями выпишите единицы всех данных и приведите их к согласованным значениям. Затем проверьте размерность ответа: для давления должны получиться паскали.
Формулу pV/T = const иногда используют, хотя количество газа меняется. Причина ошибки — внимание только к изменениям давления, объёма и температуры, без проверки, остаётся ли порция газа той же. Если газ выходит из сосуда или поступает в него, нужно учитывать отдельные значения ν. Перед применением формулы спросите себя, закрыт ли сосуд и сохранено ли количество вещества.
При постоянном объёме могут ошибочно считать давление неизменным. Так бывает, если путают неизменность объёма с неизменностью всех параметров газа. В закрытом сосуде при нагревании давление растёт пропорционально абсолютной температуре: p/T = const. Проверить рассуждение можно по этой формуле: если T изменилась, то при неизменных V и ν должно измениться и p.
Для решения задач нужны понятия количества вещества и молярной массы, а также связь ν = m/M. Следует уверенно переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины и пользоваться единицами СИ. Уравнение состояния опирается на молекулярно-кинетическую теорию: давление и температура связаны с движением частиц газа. Далее эти знания применяют при изучении газовых процессов, когда исследуют изменения давления, объёма и температуры.
Почему температуру в уравнении состояния нужно выражать в кельвинах?
Уравнение состояния использует абсолютную температуру, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. Шкала Цельсия сдвинута относительно неё на 273,15 градуса, поэтому подставлять градусы Цельсия напрямую нельзя. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15.
Когда можно использовать формулу p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂?
Эта формула подходит, когда сравнивают два состояния одной и той же порции газа и количество вещества не меняется. Давление, объём и температура могут изменяться. Температуры в обоих состояниях берут в кельвинах.
Как учесть массу газа, если количество вещества не дано?
Количество вещества находят по формуле ν = m/M, где m — масса газа, а M — его молярная масса. Затем подставляют ν в уравнение pV = νRT или сразу используют запись pV = (m/M)RT. Массу и молярную массу нужно выразить в согласованных единицах.
Как найти плотность газа по его давлению и температуре?
Используют формулу ρ = pM/(RT), где M — молярная масса газа. Давление выражают в паскалях, температуру — в кельвинах, а молярную массу — в килограммах на моль. При одинаковых p и T газ с большей молярной массой имеет большую плотность.
Что делать, если в задаче изменяется количество газа?
Нельзя напрямую применять соотношение pV/T = const, потому что оно справедливо только для неизменного количества вещества. Нужно записать уравнение состояния отдельно для каждого состояния с соответствующим значением ν. Если газ добавляют или выпускают, изменение количества вещества также учитывают.
§ 46. Применение уравнения состояния идеального газа
