§ 47. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам

Определения и обозначения

Изохорный процесс — изменение состояния газа при постоянном объёме. Поскольку граница газа не перемещается, объём не меняется и работа газа равна нулю. Это условие позволяет сразу упростить первый закон термодинамики при рассмотрении нагревания в закрытом жёстком сосуде.

Изобарный процесс — изменение состояния газа при постоянном давлении. Работа газа определяется тем, насколько изменился его объём: A = pΔV. Это обозначение удобно, когда газ расширяется или сжимается под поршнем, который может двигаться.

Изотермический процесс — изменение состояния газа при постоянной температуре. У идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при таком процессе ΔU = 0. Определение помогает установить, что теплота, полученная газом, идёт на совершение работы.

Адиабатный процесс — изменение состояния газа без теплообмена с окружающей средой. Для него количество теплоты Q равно нулю, но работа и изменение внутренней энергии могут быть ненулевыми. Это понятие позволяет описывать процессы, происходящие достаточно быстро или в хорошо теплоизолированной системе.

Как это устроено

Первый закон термодинамики записывают так: Q = ΔU + A. Здесь Q — количество теплоты, полученное газом, ΔU — изменение его внутренней энергии, а A — работа, совершённая самим газом. Такое соглашение о знаках означает, что при расширении газ совершает положительную работу, а при сжатии работа газа отрицательна. Закон выражает сохранение энергии: энергия, переданная теплотой, не исчезает, а изменяет состояние газа или передаётся через работу.

Для идеального газа внутренняя энергия связана с хаотическим движением его частиц. Чем выше температура, тем больше средняя энергия этого движения, поэтому изменение внутренней энергии определяется изменением температуры. Один и тот же переход между начальным и конечным состояниями даёт одно и то же ΔU, даже если газ пришёл к конечному состоянию разными путями. Работа и количество теплоты, напротив, зависят от того, как именно шёл процесс.

При постоянном объёме газ не расширяется и не сжимается, следовательно, не совершает работу. Если объём не меняется, то A = 0 и из первого закона получается Q = ΔU. Поэтому вся теплота, полученная газом в жёстком сосуде, изменяет его внутреннюю энергию. При нагревании температура растёт, а при охлаждении внутренняя энергия уменьшается.

При постоянном давлении работу находят по формуле A = pΔV, где ΔV — изменение объёма. Если газ расширяется, он совершает положительную работу и часть полученной теплоты передаёт окружающей среде через движение поршня. Остальная часть теплоты изменяет внутреннюю энергию, поэтому Q = ΔU + pΔV. При сжатии ΔV отрицательно, и знак работы газа меняется.

При постоянной температуре внутренняя энергия идеального газа не меняется, то есть ΔU = 0. Тогда первый закон превращается в Q = A: полученная теплота компенсирует энергию, которую газ передаёт при совершении работы. Поэтому нулевое изменение внутренней энергии не означает, что газ не получает или не отдаёт теплоту. При расширении газ может получать теплоту, а при сжатии — отдавать её.

При адиабатном процессе теплообмена с окружающей средой нет, поэтому Q = 0. Из первого закона следует ΔU = −A: работа газа оплачивается изменением его внутренней энергии. Если газ расширяется, A положительна, внутренняя энергия уменьшается и газ охлаждается; при сжатии работа газа отрицательна, ΔU положительно и температура растёт. Таким образом, отсутствие теплообмена не означает постоянства температуры.

Первый закон термодинамики для основных процессов идеального газа

Сначала найди в условии постоянную величину или отсутствие теплообмена, затем выбери соответствующую строку таблицы. Подставляй знаковые значения: при сжатии ΔV и работа газа отрицательны. Таблица описывает идеальный газ и использует соглашение, что A — работа, совершённая газом.

Разбор задач

Задача 1. Газ нагрели в жёстком закрытом сосуде, сообщив ему количество теплоты Q₀. Найти изменение внутренней энергии. Слова «жёсткий сосуд» означают, что стенки не движутся, а значит, объём газа постоянен. Поэтому это изохорный процесс, и работу газа можно сразу принять равной нулю.

1. Записываем первый закон: Q₀ = ΔU + A.
2. При постоянном объёме A = 0, поэтому Q₀ = ΔU.
3. Получаем ΔU = Q₀: вся полученная теплота увеличила внутреннюю энергию газа.

Ответ: ΔU = Q₀. Если газу сообщили положительное количество теплоты, его внутренняя энергия увеличилась на такую же величину.

Задача 2. Газ при постоянном давлении p расширился на ΔV и получил количество теплоты Q₀. Требуется найти изменение его внутренней энергии. Сначала важно отделить энергию, ушедшую на расширение, от энергии, изменившей внутреннее состояние газа. Для этого сначала рассчитываем работу, а затем применяем первый закон.

1. При постоянном давлении работа газа равна A = pΔV.
2. Подставляем известную теплоту в Q₀ = ΔU + A.
3. Выражаем неизвестную величину: ΔU = Q₀ − pΔV.

Ответ: ΔU = Q₀ − pΔV. При расширении ΔV положительно, поэтому часть полученной теплоты пошла на работу, а внутренняя энергия увеличилась меньше, чем на Q₀.

Задача 3. Идеальный газ адиабатно сжали, совершив над ним работу W. Найти изменение внутренней энергии и направление изменения температуры. В условии указана работа над газом, а в первом законе используется работа, совершённая самим газом. Поэтому сначала нужно изменить знак, а затем учесть отсутствие теплообмена.

1. При сжатии работа газа отрицательна: A = −W, где W > 0 — работа над газом.
2. Адиабатный процесс означает Q = 0, следовательно, 0 = ΔU + A.
3. Подставляем A = −W и получаем ΔU = W. Положительное изменение внутренней энергии идеального газа означает рост температуры.

Ответ: ΔU = W, температура газа повышается. Работа, совершённая над газом, увеличивает его внутреннюю энергию, поскольку теплота в этом процессе не передаётся.

Типичные ошибки

Путать работу газа с работой над газом. Ошибка возникает из-за похожих формулировок: при сжатии действительно совершается работа, но её совершает внешняя сила, а не газ. В принятом соглашении расширению соответствует A > 0, сжатию — A < 0. Проверь знак по изменению объёма: для работы при постоянном давлении A = pΔV.

Считать работу при постоянном давлении равной pV. Так можно ошибочно подставить полный объём вместо его изменения. Работа зависит от того, насколько объём изменился в процессе, поэтому нужна формула A = pΔV. Для самопроверки сравни начальный и конечный объёмы: если они равны, работа должна быть нулевой.

Полагать, что при изотермическом процессе газ не получает теплоту. Нулевая величина здесь — ΔU, а не Q: при постоянной температуре теплота может передаваться и расходоваться на работу. Это заблуждение появляется, если смешивать внутреннюю энергию с полной энергией, переданной газу. Подставь ΔU = 0 в первый закон и получишь Q = A.

Считать при адиабатном процессе нулевыми и Q, и ΔU. В действительности отсутствует только теплообмен, поэтому Q = 0, а работа может изменить внутреннюю энергию. Ошибка возникает из-за представления, будто без теплоты состояние газа не меняется. Проверь вывод по формуле ΔU = −A: если газ сжимают или он расширяется, работа обычно отлична от нуля.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия внутренней энергии, количества теплоты, работы газа и первый закон термодинамики. Уравнение состояния идеального газа помогает связывать давление, объём и температуру, а график процесса в координатах p–V показывает, как меняется объём и совершается работа. Площадь под графиком p(V) соответствует работе газа; при постоянном давлении она равна pΔV. Эти способы рассуждения понадобятся при изучении тепловых двигателей и циклических процессов, где газ проходит несколько состояний и возвращается к исходному.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики для газа: Q = ΔU + A.
• Работа газа при постоянном давлении: A = pΔV.
• При изохорном процессе A = 0.
• При изотермическом процессе идеального газа ΔU = 0.
• При адиабатном процессе Q = 0.
• Знак работы зависит от того, расширяется газ или сжимается.