§ 23. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики связывает изменение внутренней энергии газа с переданной ему теплотой и работой: ΔU = Q − A. Здесь ΔU — изменение внутренней энергии, Q — количество теплоты, A — работа, совершённая самим газом. Закон нужен, чтобы проследить, как энергия распределяется между нагреванием газа и его воздействием на окружающие тела. Знаки величин выбирают так, чтобы полученная газом теплота была положительной.

Работа газа A — это работа, которую газ совершает при изменении своего объёма, например, двигая поршень. При постоянном давлении, то есть в изобарном процессе, её находят по формуле A = pΔV, где ΔV — изменение объёма. Если объём растёт, работа положительна; если уменьшается, отрицательна. Эта величина показывает, сколько энергии газ передал окружающим телам или получил от них за счёт механического воздействия.

Изохорный процесс — процесс, происходящий при постоянном объёме газа; его условие записывают как ΔV = 0. Поскольку границы газа не перемещаются, газ не совершает работу расширения или сжатия. Это определение позволяет сразу упростить первый закон и связать теплоту только с изменением внутренней энергии. Примером может служить нагревание газа в закрытом жёстком сосуде.

Адиабатный процесс — изменение состояния газа без теплообмена с окружающей средой, поэтому для него Q = 0. Энергия газа при этом может изменяться за счёт работы, а значит, отсутствие теплообмена не означает постоянства температуры. Это понятие помогает описывать быстрое сжатие или расширение, когда газ не успевает обменяться теплотой с окружением. Для анализа такого процесса в первом законе оставляют работу и изменение внутренней энергии.

Как это устроено

Первый закон описывает энергетический баланс газа: поступившая теплота может увеличить его внутреннюю энергию или перейти в работу. Поэтому при записи ΔU = Q − A работу берут со знаком минус, если её совершает сам газ. При расширении газ действует на окружающие тела, и A положительна; при сжатии внешние тела действуют на газ, поэтому работа газа отрицательна. Если говорят о работе, совершённой над газом, её знак будет противоположен знаку A.

В изохорном процессе объём не меняется, поэтому граница газа не перемещается и работа расширения равна нулю. Подстановка A = 0 в первый закон даёт ΔU = Q. Значит, вся теплота, полученная газом в жёстком сосуде, идёт на изменение его внутренней энергии, а при охлаждении энергия уменьшается. Такое упрощение позволяет найти ΔU без расчёта работы.

При постоянном давлении работа определяется изменением объёма: A = pΔV. Во время расширения ΔV положительно и газ совершает положительную работу, а при сжатии ΔV отрицательно и работа газа отрицательна. На графике зависимости p от V работа соответствует площади под линией процесса; если давление постоянно, это прямоугольник высотой p и шириной ΔV. Найдя A, можно по первому закону определить, какая часть теплоты изменила внутреннюю энергию.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Поэтому при изотермическом процессе, когда температура постоянна, ΔU = 0. Первый закон тогда принимает вид 0 = Q − A, или Q = A: полученная при расширении теплота компенсирует энергию, которую газ передаёт окружающим телам работой. Следовательно, неизменная температура не исключает теплообмена.

В адиабатном процессе теплота не передаётся, поэтому Q = 0 и ΔU = −A. При расширении газ совершает положительную работу за счёт своей внутренней энергии, которая уменьшается; у идеального газа это означает охлаждение. При сжатии работа газа отрицательна, поэтому ΔU возрастает, а температура повышается. В обоих случаях изменение температуры связано с работой, а не с теплообменом.

Первый закон термодинамики для основных газовых процессов

Сначала найдите в таблице условие нужного процесса, затем определите, какие величины известны. Для изобарного процесса обязательно учитывайте знак ΔV, а значит, и работы. Во всех строках A означает работу самого газа, а не работу, совершённую над ним.

Разбор задач

Задача 1. Газ нагрели при постоянном объёме, сообщив ему количество теплоты Q = 600 Дж. Найдите изменение внутренней энергии. Постоянный объём означает, что границы газа не перемещаются, поэтому работа расширения отсутствует. Нужно применить закон сохранения энергии с учётом условия процесса.

1. Записываем первый закон: ΔU = Q − A.
2. Так как объём постоянен, ΔV = 0 и A = 0.
3. Подставляем значения: ΔU = 600 Дж − 0 = 600 Дж.

Ответ: внутренняя энергия газа увеличилась на 600 Дж. Полученная теплота не расходуется на работу изменения объёма. Поэтому она полностью идёт на изменение внутренней энергии газа.

Задача 2. При постоянном давлении p = 100 кПа газ расширился на ΔV = 0,020 м³ и получил Q = 3,0 кДж теплоты. Найдите изменение внутренней энергии. Сначала нужно определить работу по изменению объёма, затем воспользоваться первым законом. Поскольку газ расширяется, знак работы положительный.

1. Переводим давление в паскали: 100 кПа = 100 000 Па.
2. Вычисляем работу: A = pΔV = 100 000 Па · 0,020 м³ = 2 000 Дж = 2,0 кДж.
3. Подставляем в первый закон: ΔU = Q − A = 3,0 кДж − 2,0 кДж = 1,0 кДж.

Ответ: внутренняя энергия увеличилась на 1,0 кДж. Часть теплоты пошла на работу расширения, а оставшаяся часть изменила внутреннюю энергию. Если бы газ сжимали, работа газа была бы отрицательной.

Задача 3. Идеальный газ адиабатно сжали; внешние силы совершили над ним работу 500 Дж. Определите изменение внутренней энергии и объясните, как изменится температура. В условии указана работа над газом, тогда как в формуле используется работа самого газа. При сжатии этим величинам соответствуют противоположные знаки.

1. Работа над газом равна 500 Дж, поэтому работа газа A = −500 Дж.
2. Для адиабатного процесса Q = 0. По первому закону ΔU = Q − A = 0 − (−500 Дж) = 500 Дж.
3. Внутренняя энергия идеального газа увеличилась. Поскольку она зависит от температуры, температура газа повысилась.

Ответ: ΔU = 500 Дж, газ нагрелся. Энергия, переданная ему внешними силами при сжатии, увеличила внутреннюю энергию. Теплота при этом не поступала и не уходила.

Типичные ошибки

Ошибка — считать работу при расширении отрицательной, потому что газ теряет энергию. Но в записи ΔU = Q − A положительной считается именно работа, совершённая газом над окружающими телами. Проверьте знак по изменению объёма: при расширении ΔV > 0, а при сжатии ΔV < 0.

Нельзя подставлять работу над газом в формулу как работу самого газа без смены знака. Эти работы описывают одно взаимодействие с разных сторон, поэтому при выбранном соглашении они противоположны. Перед вычислением подпишите, какая именно работа дана; при сжатии работа над газом положительна, а работа газа отрицательна.

Изотермический процесс не означает, что теплота равна нулю. У идеального газа при постоянной температуре ΔU = 0, поэтому Q = A: теплообмен может поддерживать температуру, пока газ совершает работу. Проверьте, о каком условии говорится: изотермичность задаёт постоянство температуры, а не отсутствие теплообмена.

Адиабатный процесс иногда ошибочно считают процессом с постоянной температурой. На самом деле условие Q = 0 запрещает теплообмен, но не изменение внутренней энергии из-за работы. Проверьте вывод по формуле ΔU = −A: сжатие увеличивает внутреннюю энергию и температуру, а расширение уменьшает их.

Связь с другими темами

Для применения первого закона нужно знать, что такое внутренняя энергия идеального газа и как она зависит от температуры. Тогда по изменению энергии можно понять, нагревается газ или охлаждается. Полезно также различать передачу энергии теплотой и совершением работы: это два разных способа изменить состояние газа.

Работу газа при постоянном давлении находят с помощью механической формулы A = pΔV, а на графике давления от объёма её можно связать с площадью под линией процесса. Поэтому пригодятся умение вычислять работу при постоянной силе и навык читать графики. Знаки величин нужно согласовывать с тем, расширяется газ или сжимается.

Первый закон помогает анализировать энергетические превращения в тепловых двигателях и циклических процессах. В цикле газ возвращается в исходное состояние, поэтому его суммарное изменение внутренней энергии равно нулю. Сравнение теплоты и работы позволяет определить, как энергия превращается в полезную механическую работу.

Что запомнить

• Для газа ΔU = Q − A, если A — работа, совершённая самим газом.
• При расширении работа газа положительна, при сжатии отрицательна.
• В изохорном процессе A = 0 и ΔU = Q.
• В изобарном процессе A = pΔV.
• Для идеального газа при изотермическом процессе ΔU = 0 и Q = A.
• В адиабатном процессе Q = 0 и ΔU = −A.