§ 47. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики для газа записывают так: Q = ΔU + A. Здесь Q — количество теплоты, переданное газу, ΔU — изменение его внутренней энергии, а A — работа, совершённая газом. Закон показывает, как распределяется энергия: часть теплоты может изменить состояние газа, а часть — перейти в работу.

Работа газа связана с изменением его объёма: расширяясь, газ перемещает границу и действует на окружающие тела. При расширении A > 0, а при сжатии A < 0, потому что в последнем случае внешние силы совершают работу над газом. Этот знак помогает не перепутать работу газа с работой, совершённой над ним.

Изохорный процесс — это процесс при постоянном объёме, то есть V = const. Граница газа не перемещается, поэтому работа газа равна нулю: A = 0. Это упрощает применение первого закона: всё полученное тепло идёт на изменение внутренней энергии.

Адиабатный процесс происходит без теплообмена с окружающей средой, поэтому Q = 0. Энергия газа при этом может изменяться за счёт работы: при расширении газ расходует внутреннюю энергию, а при сжатии она увеличивается. Понятие нужно, чтобы анализировать процессы, которые протекают быстро или в хорошо изолированной системе.

Как это устроено

Когда газ получает теплоту, энергия передаётся его частицам. Она может увеличить внутреннюю энергию — например, усилить хаотическое движение молекул, — или обеспечить работу расширения, при котором газ раздвигает окружающую среду. В общем случае происходят оба изменения, поэтому Q равно их сумме. Если газ отдаёт тепло, Q считают отрицательным, и баланс энергии сохраняет тот же вид.

Для идеального газа внутренняя энергия связана с движением частиц и зависит от температуры. Поэтому при нагревании ΔU положительно, а при охлаждении — отрицательно; если температура не меняется, то ΔU = 0. Это позволяет определять изменение энергии по изменению температуры, даже если саму внутреннюю энергию газа нельзя измерить напрямую. Знак ΔU показывает направление изменения, а не то, велика ли энергия газа вообще.

При постоянном объёме газ не перемещает стенки сосуда. Работа, связанная с изменением объёма, равна нулю, и первый закон принимает вид Q = ΔU. Значит, если газ в жёстком закрытом сосуде нагревают, переданная теплота увеличивает его внутреннюю энергию. Давление при этом может измениться, хотя объём остаётся прежним.

При постоянном давлении работа газа равна A = pΔV. Давление здесь не меняется, поэтому работа равна произведению давления на изменение объёма; при расширении ΔV положительно. Полученная теплота расходуется и на эту работу, и на изменение внутренней энергии: ΔU = Q − A. Если газ сжимают, ΔV и работа газа отрицательны, поэтому для расчётов важно не заменять величины их модулями.

При постоянной температуре идеального газа внутренняя энергия не меняется, поэтому Q = A. Если газ расширяется, он совершает работу и должен получить соответствующее количество теплоты, иначе температура снизилась бы. При адиабатном процессе теплота не поступает и не уходит, поэтому работа совершается за счёт изменения внутренней энергии: ΔU = −A. При сжатии работа газа отрицательна, следовательно, ΔU положительно и температура идеального газа растёт.

Первый закон термодинамики для основных газовых процессов

Сначала найдите в условии, какая величина остаётся постоянной или чему равно количество теплоты. Затем выберите строку таблицы и подставьте известные значения в формулы. Проверяйте знаки: при расширении работа положительна, при сжатии отрицательна.

Разбор задач

Рассмотрим, как определить внутреннюю энергию и работу газа для разных процессов. В каждом случае сначала устанавливаем условие процесса, а затем выбираем формулу, которая следует из первого закона. Если в задаче есть давление и объём, переводим их в единицы СИ: паскали и кубические метры. После вычислений полезно проверить, согласуются ли знаки результата с физическим смыслом процесса.

Задача 1. Газ в закрытом жёстком сосуде получил 600 Дж теплоты. Найти изменение его внутренней энергии.

1. Жёсткий сосуд не меняет объём, поэтому процесс изохорный и работа газа A = 0.
2. По первому закону Q = ΔU + A, значит, при A = 0 получаем ΔU = Q.
3. Подставляем переданное тепло: ΔU = 600 Дж. Положительный знак означает, что внутренняя энергия увеличилась.

Ответ: внутренняя энергия газа увеличилась на 600 Дж.

Задача 2. При постоянном давлении 100 кПа газ расширился на 0,02 м³ и получил 3 кДж теплоты. Найти работу газа и изменение его внутренней энергии.

1. При изобарном расширении A = pΔV. Переводим величины: 100 кПа = 100 000 Па, а 3 кДж = 3000 Дж.
2. Вычисляем работу: A = 100 000 Па · 0,02 м³ = 2000 Дж. Она положительна, так как газ расширяется.
3. Из Q = ΔU + A находим ΔU = Q − A = 3000 − 2000 = 1000 Дж.

Ответ: газ совершил работу 2000 Дж, его внутренняя энергия увеличилась на 1000 Дж.

Задача 3. При адиабатном сжатии над газом совершили работу 500 Дж. Определить изменение внутренней энергии и объяснить, как изменится температура идеального газа.

1. Адиабатность означает Q = 0, поэтому первый закон даёт ΔU = −A, где A — именно работа газа.
2. При сжатии работа газа отрицательна. Если над газом совершили работу 500 Дж, то A = −500 Дж.
3. Следовательно, ΔU = −(−500 Дж) = 500 Дж. Для идеального газа рост внутренней энергии означает повышение температуры.

Ответ: внутренняя энергия увеличилась на 500 Дж, температура газа повысилась.

Типичные ошибки

Подстановка работы, совершённой над газом, вместо работы газа меняет знак в формуле. Так ошибаются, потому что в условии часто описывают именно внешнее воздействие, тогда как в Q = ΔU + A величина A означает работу газа. Проверьте себя: при сжатии A должно быть отрицательным, даже если внешняя сила совершает положительную работу над газом.

Иногда считают, что при изохорном процессе внутренняя энергия не меняется. Путают нулевую работу с нулевым изменением энергии, хотя при постоянном объёме A = 0, а Q = ΔU. Проверка простая: нагревание газа повышает его температуру и, следовательно, внутреннюю энергию.

Ещё одна ошибка — полагать, что идеальный газ не получает теплоту при постоянной температуре. Температура постоянна, поэтому ΔU = 0, но теплота может поступать и целиком переходить в работу: Q = A. Чтобы проверить рассуждение, представьте расширяющийся газ: без притока энергии его температура изменилась бы.

Отсутствие теплообмена при адиабатном процессе иногда принимают за постоянство температуры. На деле Q = 0 не означает ΔU = 0: внутренняя энергия меняется за счёт работы. При адиабатном сжатии она растёт, поэтому растёт и температура идеального газа; это проверяет, правильно ли применён первый закон.

Связь с другими темами

Для работы с первым законом нужны понятия количества теплоты, внутренней энергии и работы газа. Уравнение состояния идеального газа помогает связать давление, объём и температуру, а зависимость внутренней энергии от температуры — определить знак ΔU. Эти знания позволяют рассматривать не отдельные формулы, а изменение состояния газа целиком.

Работу можно находить по графику процесса в координатах p–V. Площадь под графиком показывает её величину, а направление изменения объёма помогает установить знак. Поэтому умение читать такие графики дополняет расчёты по формулам.

Первый закон применяют при изучении тепловых двигателей и холодильных машин, где энергия переходит между газом и окружающей средой. Он также помогает разбирать любые энергетические превращения: показывает, какая часть переданной теплоты изменила внутреннюю энергию, а какая пошла на работу. Это основа для понимания эффективности тепловых устройств.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A, если A — работа газа.
• При расширении работа газа положительна, при сжатии — отрицательна.
• При постоянном объёме A = 0 и Q = ΔU.
• При постоянном давлении A = pΔV.
• Для идеального газа при постоянной температуре ΔU = 0 и Q = A.
• В адиабатном процессе Q = 0, поэтому ΔU = −A.