§ 47. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики — связь между количеством теплоты, изменением внутренней энергии и работой газа: Q = ΔU + A. Теплота, поступившая к газу, может изменить его состояние и одновременно обеспечить расширение. Закон позволяет проследить, куда передаётся энергия.

Работа газа — энергия, переданная газом при перемещении границы объёма; при постоянном давлении A = pΔV. Здесь ΔV = V₂ − V₁: при расширении работа положительна, при сжатии — отрицательна. Эта величина нужна, чтобы учесть механическую передачу энергии.

Внутренняя энергия идеального газа — энергия, зависящая только от температуры газа; её изменение определяется изменением температуры. Поэтому при неизменной температуре ΔU = 0, даже если меняются давление и объём. Это свойство помогает упростить расчёты процессов.

Адиабатный процесс — процесс без теплообмена с окружающей средой, при котором Q = 0. Это не означает, что состояние газа не меняется: он может нагреваться или охлаждаться за счёт работы. Понятие используют, когда теплообменом можно пренебречь.

Как это устроено

Первый закон термодинамики следует из сохранения энергии: энергия не возникает из ничего, а переходит из одной формы в другую. Полученная теплота может увеличить внутреннюю энергию газа, а может быть передана окружающим телам через работу расширения. Поэтому в равенстве Q = ΔU + A учитываются оба результата передачи энергии.

У идеального газа частицы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, а их внутренняя энергия связана с хаотическим движением. Средняя энергия такого движения определяется температурой, поэтому изменение внутренней энергии зависит от изменения температуры, а не от пути перехода между состояниями. Если газ пришёл к одной и той же конечной температуре разными способами, изменение его внутренней энергии будет одинаковым.

При изохорном процессе объём постоянен, значит граница газа не перемещается. Работа связана именно с перемещением границы, поэтому A = 0. Из первого закона остаётся Q = ΔU: всё переданное тепло изменяет внутреннюю энергию, а следовательно, температуру газа.

При изобарном процессе давление постоянно, и работа равна произведению давления на изменение объёма: A = pΔV. При расширении газ совершает положительную работу, поэтому на изменение внутренней энергии приходится не вся полученная теплота, а Q − A. В итоге количество теплоты складывается из двух частей: Q = ΔU + A.

В изотермическом процессе идеального газа температура постоянна, поэтому ΔU = 0 и из первого закона следует Q = A. При адиабатном процессе, напротив, Q = 0: если газ расширяется и совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается. В цикле начальное и конечное состояния совпадают, значит суммарное изменение внутренней энергии равно нулю, а суммарная теплота за цикл равна работе.

Применение первого закона термодинамики к основным газовым процессам

Сначала найдите строку, соответствующую условию процесса, и определите, какие величины равны нулю. Затем подставьте известные значения в первый закон, сохраняя знаки работы. Если давление меняется, работу следует находить по площади под графиком p(V), а не по формуле pΔV.

Разбор задач

Задача 1. Одноатомный идеальный газ нагревают в сосуде постоянного объёма от температуры T₁ до T₂. Нужно найти работу газа, изменение внутренней энергии и количество полученной теплоты. Объём сосуда не меняется, поэтому процесс изохорный. Для одноатомного идеального газа ΔU = 3nR(T₂ − T₁)/2, где n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная.

1. Записываем условие изохорности: ΔV = 0.
2. Находим работу: A = 0, поскольку граница газа не перемещается.
3. Вычисляем изменение внутренней энергии: ΔU = 3nR(T₂ − T₁)/2.
4. Применяем первый закон: Q = ΔU + A = ΔU.

Ответ: A = 0, ΔU = 3nR(T₂ − T₁)/2, Q = 3nR(T₂ − T₁)/2. При нагревании T₂ больше T₁, поэтому и изменение внутренней энергии, и полученная теплота положительны.

Задача 2. Газ при постоянном давлении p расширился от объёма V₁ до V₂ и получил количество теплоты Q. Требуется найти изменение внутренней энергии. Поскольку давление постоянно, можно вычислить работу как pΔV. При расширении V₂ больше V₁, поэтому газ совершает положительную работу.

1. Находим изменение объёма: ΔV = V₂ − V₁.
2. Вычисляем работу газа: A = p(V₂ − V₁).
3. Переставляем слагаемые в первом законе: ΔU = Q − A.
4. Подставляем найденную работу: ΔU = Q − p(V₂ − V₁).

Ответ: ΔU = Q − p(V₂ − V₁). Проверка смысла: часть полученной теплоты пошла на расширение газа, поэтому внутренней энергии досталась разность между Q и A.

Задача 3. Идеальный газ изотермически расширяется от объёма V₁ до V₂ при температуре T. Нужно найти работу газа и полученную теплоту. Сначала проверяем, какое следствие даёт постоянство температуры: у идеального газа внутренняя энергия не меняется. Для обратимого расширения работу можно вычислить по площади под изотермой, используя A = nRT ln(V₂/V₁).

1. Записываем ΔT = 0 и, следовательно, ΔU = 0.
2. Находим работу: A = nRT ln(V₂/V₁), где n — количество вещества.
3. Применяем первый закон: Q = ΔU + A.
4. Так как ΔU = 0, получаем Q = A = nRT ln(V₂/V₁).

Ответ: A = nRT ln(V₂/V₁), Q = nRT ln(V₂/V₁). При расширении V₂ больше V₁, логарифм положителен, поэтому газ совершает положительную работу и получает положительное количество теплоты.

Типичные ошибки

Ошибка: писать Q = ΔU − A. Так бывает, если перепутать работу газа с работой внешних сил над ним: эти работы имеют противоположные знаки. Проверка: в принятой записи A — работа самого газа, поэтому в первом законе стоит Q = ΔU + A.

Ошибка: считать, что при любом нагревании вся теплота увеличивает внутреннюю энергию. При расширении часть энергии передаётся через работу, поэтому ΔU = Q − A. Проверяйте, меняется ли объём и совершает ли газ работу.

Ошибка: применять A = pΔV, когда давление меняется. Эта формула подходит для постоянного давления, а при переменном p работа равна площади под графиком p(V). Проверьте условие задачи или форму линии на диаграмме, прежде чем выбирать формулу.

Ошибка: утверждать, что при адиабатном процессе температура постоянна. Нулевой теплообмен Q = 0 не запрещает изменять внутреннюю энергию за счёт работы. Для проверки используйте ΔU = −A: при расширении работа положительна, а внутренняя энергия и температура идеального газа обычно уменьшаются.

Связь с другими темами

Для применения первого закона нужны уравнение состояния идеального газа и понимание того, как температура связана с его внутренней энергией. Работа газа опирается на знакомую механику: при постоянном давлении A = pΔV, а на диаграмме p(V) работа связана с площадью под графиком. Позже эти знания помогут разбирать тепловые машины, вычислять их КПД и понимать необратимые тепловые процессы.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
• При постоянном давлении работа газа равна A = pΔV.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• Для идеального газа при постоянной температуре ΔU = 0.
• В адиабатном процессе Q = 0.
• В циклическом процессе суммарное изменение внутренней энергии равно нулю.
• Знак работы определяется тем, расширяется газ или сжимается.