3. Подъёмная сила воздушного шара

Определения и обозначения

Архимедова сила в воздухе — направленная вверх сила, равная весу воздуха, вытесненного шаром. Её обозначают F_A и вычисляют по формуле F_A = ρ_воздgV. Здесь ρ_возд — плотность окружающего воздуха, g — ускорение свободного падения, V — объём шара.

Подъёмная сила воздушного шара — результирующая сила, направленная вверх, после учёта архимедовой силы и веса всех частей шара. Вниз действуют веса оболочки, газа и груза. Понятие помогает определить, будет ли шар подниматься, покоиться или опускаться.

Аэростат — летательный аппарат легче окружающего воздуха, удерживающийся в воздухе благодаря архимедовой силе. К аэростатам относятся воздушные шары и дирижабли. Их общий принцип состоит в том, что вытесненный воздух весит больше, чем сам аппарат.

Грузоподъёмность шара — наибольшая масса полезного груза, при которой шар ещё может подниматься или оставаться в равновесии. В этот предел не входят оболочка и газ: их массы уже учитывают отдельно. По грузоподъёмности оценивают, сколько людей или оборудования можно поднять.

Как это устроено

Шар занимает некоторый объём и вытесняет воздух. Давление воздуха увеличивается с глубиной, поэтому на нижнюю часть оболочки воздух давит сильнее, чем на верхнюю. Силы давления по бокам в основном компенсируют друг друга, а их разность снизу и сверху создаёт архимедову силу, направленную вверх.

Величина архимедовой силы определяется свойствами вытесненной среды и размером погружённого объёма. Поэтому для воздушного шара используют плотность наружного воздуха, ускорение свободного падения и весь объём оболочки: F_A = ρ_воздgV. Чем плотнее воздух или больше шар, тем больше вес вытесненного воздуха и тем сильнее поддерживающее действие.

Одновременно на шар действуют вниз силы тяжести. Их общий результат можно представить как вес оболочки, газа внутри и полезного груза. Подъём начинается только тогда, когда F_A больше суммарного веса; разность этих сил сообщает шару ускорение вверх.

Внутри оболочки используют горячий воздух, водород или гелий, потому что их плотность меньше плотности обычного наружного воздуха. При одинаковом объёме масса такого содержимого меньше, чем масса вытесненного воздуха. Архимедова сила при этом по-прежнему рассчитывается по плотности воздуха снаружи, а уменьшение веса повышает возможность подъёма.

Если архимедова сила равна общему весу, вертикальные силы уравновешены и шар не получает ускорения. Если вес превышает архимедову силу, результирующая направлена вниз, поэтому шар опускается. Для подъёма нужно не равенство, а превышение архимедовой силы над общим весом.

Силы и условия движения воздушного шара

Сначала найдите архимедову силу, затем определите общий вес оболочки, газа и груза. Сравнение двух величин сразу показывает результат движения. Для начала подъёма знак сравнения должен быть «больше», а для предельного равновесия — «равно».

Разбор задач

Задача 1

Объём шара V = 500 м³, плотность воздуха ρ_возд = 1,2 кг/м³, g = 10 Н/кг. Требуется найти архимедову силу. В формулу подставляется объём вытесненного наружного воздуха, а не масса газа внутри шара.

1. Запишем формулу: F_A = ρ_воздgV.
2. Подставим значения: F_A = 1,2 · 10 · 500 Н.
3. Выполним вычисление: F_A = 6000 Н.

Ответ: архимедова сила равна 6000 Н. Единица измерения получается в ньютонах, потому что сила равна произведению массы на ускорение.

Задача 2

Объём шара равен 300 м³, плотность воздуха — 1,2 кг/м³, газа — 0,2 кг/м³. Масса оболочки и оборудования составляет 100 кг, масса груза — 150 кг, g = 10 Н/кг. Сравним подъёмную силу и общий вес, причём массу газа найдём через его плотность и объём.

1. Архимедова сила: F_A = 1,2 · 10 · 300 = 3600 Н.
2. Масса газа: m_г = 0,2 · 300 = 60 кг.
3. Общая масса: m = 60 + 100 + 150 = 310 кг.
4. Общий вес: P = mg = 310 · 10 = 3100 Н.
5. Сравнение даёт 3600 Н > 3100 Н, значит, шар сможет поднять груз.

Ответ: шар поднимется, поскольку запас силы равен 500 Н. Если бы общий вес был не меньше 3600 Н, подъёма с таким грузом не произошло бы.

Задача 3

Пусть V — объём шара, ρ_возд — плотность наружного воздуха, ρ_г — плотность газа, m_об — масса оболочки и оборудования. Нужно найти предельную массу груза m_гр, при которой шар ещё поднимается или находится на границе подъёма.

1. Масса газа равна m_г = ρ_гV.
2. На границе подъёма архимедова сила равна общему весу: ρ_воздgV = (m_об + ρ_гV + m_гр)g.
3. Сократим g и выразим груз: m_гр = ρ_воздV − ρ_гV − m_об.
4. Итоговая формула: m_гр,max = (ρ_возд − ρ_г)V − m_об.

Ответ: максимальная масса груза определяется этой формулой. Для уверенного подъёма масса груза должна быть немного меньше найденного предельного значения.

Типичные ошибки

Плотность газа внутри шара подставляют вместо плотности наружного воздуха. Так делают, потому что газ находится внутри и кажется главным для расчёта, но шар вытесняет именно внешний воздух. Проверьте себя вопросом: вес какой среды определяет архимедову силу?

За подъёмную силу принимают одну только архимедову силу. На самом деле оболочка, газ и груз тянут шар вниз, поэтому нужно сравнивать F_A с их суммарным весом. Полезно составить отдельный список всех масс перед вычислениями.

Иногда забывают массу газа, особенно если он легче воздуха. Малая плотность не означает нулевую массу: её находят по формуле m = ρV. Если в условии дана плотность газа, она почти всегда нужна для расчёта общего веса.

Равенство сил путают с условием подъёма. При равенстве шар находится в равновесии, а для начала движения вверх архимедова сила должна быть больше веса. Проверьте итог знаком сравнения, а не только численным значением.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Архимеда, формула веса тела P = mg и связь плотности, массы и объёма m = ρV. Эти знания позволяют отдельно вычислить силу поддержки, массу газа и общий вес аппарата.

Тема связана с плаванием тел в жидкостях и газах. Она объясняет работу аэростатов и дирижаблей: в обоих случаях подъём возникает из-за разности между весом вытесненной среды и весом самого аппарата.

Что запомнить

• Воздух, как и жидкость, оказывает на погружённое тело архимедову силу.
• Архимедова сила равна весу вытесненного воздуха.
• Для шара F_A = ρ_воздgV.
• При подъёме архимедова сила больше суммарного веса шара.
• В суммарный вес входят оболочка, газ и полезный груз.
• Горячий воздух или лёгкий газ уменьшают вес шара, но не меняют плотность наружного воздуха.