5. Адиабатный процесс

Определения и обозначения

Адиабатный процесс — изменение состояния газа без теплообмена с окружающей средой. Количество теплоты, переданное газу, обозначают Q, поэтому для такого процесса Q = 0. Это условие помогает отделить влияние теплопередачи от влияния работы.

Теплоизолированная система — система, в которой теплообмен с окружающей средой отсутствует или настолько мал, что им можно пренебречь. В реальности идеальная изоляция недостижима, поэтому обычно речь идёт о приближении. Понятие позволяет считать процесс адиабатным, если потери тепла несущественны.

Показатель адиабаты — отношение теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме: γ = Cp/CV. Здесь Cp и CV показывают, сколько теплоты нужно для нагревания газа при соответствующих условиях. Значение γ учитывают при расчётах, например для одноатомного идеального газа γ = 5/3.

Уравнение Пуассона связывает параметры идеального газа при адиабатном процессе: pVᵞ = const. Буквы p и V обозначают давление и объём, а const означает постоянную величину для данной массы газа в ходе процесса. По этому уравнению можно найти один параметр, если известны остальные и показатель адиабаты.

Как это устроено

Отсутствие теплообмена не удерживает температуру неизменной, потому что газ может обмениваться энергией посредством работы. При расширении он толкает поршень или окружающий газ и тратит часть внутренней энергии. При сжатии внешние силы совершают работу над газом, передавая ему энергию, поэтому его температура обычно повышается.

Первый закон термодинамики при обозначении A как работы газа записывается ΔU = Q − A, где ΔU — изменение внутренней энергии. Для адиабатного процесса Q = 0, поэтому ΔU = −A. Значит, при расширении A положительна и внутренняя энергия уменьшается, а при сжатии работа газа отрицательна и ΔU становится положительной.

Уравнение Пуассона можно получить, объединив первый закон термодинамики с уравнением состояния идеального газа и выражением для его внутренней энергии. Результат pVᵞ = const описывает, как меняются давление и объём при адиабатном изменении состояния. Оно применимо к идеальному газу при постоянном показателе адиабаты, а не к произвольному процессу.

Подставив в уравнение Пуассона соотношение pV = nRT, можно выразить ту же зависимость через температуру: TV^(γ−1) = const. Если вместо объёма выразить его через давление, получится форма Tᵞp^(1−γ) = const. Эти записи удобны, когда в задаче известны температура и объём либо температура и давление.

При изотермическом расширении температура идеального газа постоянна, поэтому pV = const. При адиабатном расширении объём тоже растёт, но одновременно падают температура и внутренняя энергия; охлаждение дополнительно снижает давление. Поэтому давление на адиабате падает быстрее, чем на изотерме, если кривые сравнивают из одной начальной точки.

На графике p(V) это видно по наклону кривых: адиабата круче изотермы. Такой график помогает сравнить изменения давления при одном и том же увеличении объёма. Начальная точка может быть общей для обеих кривых, но дальше их ход различается из-за разных условий процесса.

Сравнение адиабатного и изотермического процессов идеального газа

Сначала определите, какое условие задано: отсутствие теплообмена или постоянство температуры. Затем выберите соответствующую связь между давлением и объёмом. Последняя строка относится к идеальному газу: его внутренняя энергия зависит только от температуры.

Разбор задач

Задача 1. Газ расширяется адиабатно и совершает работу 120 Дж. Найти изменение его внутренней энергии. Поскольку газ расширяется, работа газа положительна, а для адиабатного процесса Q = 0. Требуется найти ΔU, поэтому достаточно применить первый закон термодинамики.

1. Запишем первый закон: ΔU = Q − A.
2. Подставим Q = 0 и A = 120 Дж: ΔU = 0 − 120 Дж = −120 Дж.
3. Отрицательный знак показывает, что внутренняя энергия газа уменьшилась.

Ответ: ΔU = −120 Дж.

Задача 2. Идеальный газ адиабатно расширяется, его объём увеличивается в 2 раза. Начальное давление равно 400 кПа, γ = 1,4. Найти конечное давление. Здесь известны оба объёма в отношении, поэтому удобно применить уравнение Пуассона и выразить p₂.

1. Запишем p₁V₁ᵞ = p₂V₂ᵞ, откуда p₂ = p₁(V₁/V₂)ᵞ.
2. Так как V₂ = 2V₁, получим p₂ = 400 кПа · (1/2)^1,4.
3. Вычислим: (1/2)^1,4 ≈ 0,379, значит p₂ ≈ 152 кПа.

Ответ: примерно 152 кПа. Давление стало меньше, потому что объём увеличился, а газ при адиабатном расширении охладился.

Задача 3. Одноатомный идеальный газ адиабатно расширился, увеличив объём в 3 раза; начальная температура равна 600 К. Найти конечную температуру и работу для заданного количества вещества n. Число молей в условии не указано, поэтому работу выразим через n, а также приведём значение для одного моля.

1. Для одноатомного газа γ = 5/3. По TV^(γ−1) = const получаем T₂ = 600 К · (V₁/V₂)^(2/3) = 600/3^(2/3) ≈ 289 К.
2. При адиабатном процессе A = −ΔU, а для одноатомного газа ΔU = 3nR(T₂ − T₁)/2.
3. Тогда A = 3nR(T₁ − T₂)/2 ≈ 3n · 8,31 · (600 − 289)/2 Дж ≈ 3,87 кДж · n.

Ответ: T₂ ≈ 289 К; A ≈ 3,87n кДж, где n — количество вещества в молях. Для одного моля работа составляет примерно 3,87 кДж.

Типичные ошибки

Считать, что при адиабатном процессе температура постоянна, — значит спутать отсутствие теплообмена с изотермичностью. Такую ошибку допускают, потому что в обоих случаях процесс описывают особым условием. Проверь себя: в адиабатном процессе Q = 0, а постоянная температура задаётся отдельно условием T = const.

Другая ошибка — полагать, что при Q = 0 внутренняя энергия не меняется. Это происходит, если забыть, что газ может совершать работу или работа может совершаться над ним. Подставь Q = 0 в первый закон ΔU = Q − A: изменение энергии обращается в ноль только при A = 0.

При расширении иногда приписывают работе газа отрицательный знак, из-за чего получают неверный знак ΔU. Путаница возникает потому, что в задачах могут отдельно говорить о работе внешних сил над газом. Если используется A как работа газа, при расширении A > 0, а при адиабатном расширении ΔU = −A < 0.

Уравнение Пуассона нельзя применять к любому изменению состояния газа. Его используют для адиабатного процесса идеального газа, причём предполагают постоянство γ; ошибку провоцирует сходство формул для разных процессов. Проверь условия задачи и не подменяй pVᵞ = const изотермическим соотношением pV = const.

Связь с другими темами

Для понимания адиабатного процесса нужны первый закон термодинамики, понятия внутренней энергии, количества теплоты и работы газа. Именно первый закон объясняет, почему изменение энергии возможно даже при Q = 0: остаётся вклад работы. Знаки работы важно согласовать с тем, что положительной считается работа, совершённая самим газом.

Тема связана с изопроцессами и уравнением состояния идеального газа: с их помощью получают и сравнивают зависимости параметров. Быстрое сжатие и расширение газов можно приближённо считать адиабатными, поскольку теплообмен не успевает произойти. Такие процессы встречаются, в частности, в работе тепловых двигателей.

Что запомнить

• В адиабатном процессе теплообмен отсутствует: Q = 0.
• Для идеального газа при адиабатном процессе pVᵞ = const.
• При адиабатном расширении газ охлаждается, а при сжатии нагревается.
• Изменение внутренней энергии при адиабатном процессе определяется работой газа: ΔU = −A.
• Показатель адиабаты γ = Cp/CV.
• Адиабата на диаграмме p(V) круче изотермы.