4. Адиабатный процесс

Определения и обозначения

Адиабатный процесс — процесс изменения состояния газа, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует: Q = 0. Это не означает постоянства температуры: энергия газа может изменяться из-за работы.

Адиабатная оболочка — теплоизолирующая оболочка или такое условие, при котором газ практически не получает и не отдаёт теплоту. Она нужна, чтобы приближённо выполнить условие Q = 0.

Показатель адиабаты ᵞ — отношение молярной теплоёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме: ᵞ = Cₚ/Cᵥ. Он показывает, насколько по-разному газ изменяет температуру при расширении и сжатии.

Уравнение адиабаты связывает параметры идеального газа при таком процессе: pVᵞ = const. С его помощью можно найти неизвестное давление или объём, если известны начальные параметры и показатель ᵞ.

Как это устроено

При адиабатном процессе газ не получает теплоту извне и не отдаёт её окружающей среде, поэтому Q = 0. Первый закон термодинамики можно записать как Q = ΔU + A, где A — работа, совершённая газом. Следовательно, ΔU = −A: вся энергия на работу берётся из внутренней энергии газа.

При расширении объём увеличивается, и газ действует на внешние тела, совершая положительную работу. Так как тепло не поступает, внутренняя энергия уменьшается, а температура идеального газа связана с ней напрямую. Поэтому при адиабатном расширении газ охлаждается.

При сжатии внешние силы совершают работу над газом, а работа самого газа считается отрицательной. Из соотношения ΔU = −A следует, что внутренняя энергия возрастает. Для идеального газа это означает повышение температуры.

Выведем формулы адиабаты. Из dU = nCᵥdT, δA = p dV и Q = 0 получаем nCᵥdT = −p dV; подставляя p = nRT/V, имеем dT/T = −(ᵞ − 1)dV/V. После интегрирования выходит TV^ᵞ⁻¹ = const, а совместно с pV = nRT — pV^ᵞ = const и T^ᵞp^¹⁻ᵞ = const.

Адиабатность часто возникает при быстром движении поршня или стремительном расширении газа: за короткое время теплота не успевает пройти через стенки. На pV-графике адиабата убывает быстрее изотермы, потому что при расширении уменьшаются и давление, и температура. Поэтому при одинаковой точке адиабата расположена круче, чем кривая pV = const.

Основные свойства адиабатного процесса

В таблице сначала найдите условие процесса, а затем используйте соответствующую формулу. Если газ идеальный, изменение его внутренней энергии связано только с температурой. Для вычисления работы полезно сравнить площадь под кривой процесса на pV-графике.

Разбор задач

Задача 1

Идеальный газ адиабатно расширился и совершил работу 600 Дж. Найдём изменение его внутренней энергии.

1. При адиабатном процессе Q = 0.
2. По первому закону термодинамики ΔU = Q − A.
3. Подставляем A = 600 Дж: ΔU = 0 − 600 = −600 Дж.

Ответ: внутренняя энергия уменьшилась на 600 Дж.

Задача 2

Одноатомный газ имел температуру 300 К и расширился адиабатно в 8 раз. Для одноатомного газа ᵞ = 5/3.

1. Используем TV^ᵞ⁻¹ = const, поэтому T₂ = T₁(V₁/V₂)^ᵞ⁻¹.
2. ᵞ − 1 = 2/3, а (V₁/V₂)^²⁄³ = (1/8)^²⁄³ = 1/4.
3. T₂ = 300 · 1/4 = 75 К.

Ответ: конечная температура равна 75 К.

Задача 3

Газ с ᵞ = 1,4 занимает 2 л при давлении 500 кПа и расширяется до 5 л. Найдём конечное давление и работу.

1. Из pV^ᵞ = const: p₂ = p₁(V₁/V₂)^ᵞ = 500(2/5)^1,4 ≈ 139 кПа.
2. Работа адиабатного расширения A = (p₁V₁ − p₂V₂)/(ᵞ − 1).
3. Так как 1 кПа·л = 1 Дж, A ≈ (1000 − 695)/0,4 ≈ 760 Дж.

Ответ: p₂ ≈ 139 кПа, A ≈ 760 Дж.

Типичные ошибки

Считать адиабатный процесс изотермическим. Ошибка появляется из-за неверной мысли, что Q = 0 означает неизменную температуру. Проверьте себя: отсутствие теплообмена и условие T = const — разные утверждения.

Записывать ΔU = A. При принятом соглашении A — работа газа, поэтому первый закон даёт ΔU = Q − A, а при Q = 0 — ΔU = −A. При расширении A положительна, значит внутренняя энергия должна уменьшаться.

Использовать pV = const. Это закон Бойля—Мариотта для изотермы, а не для адиабаты. В адиабатной задаче степень у объёма равна ᵞ, поэтому нужно записывать pV^ᵞ = const.

Забывать смысл показателя ᵞ. Он зависит от строения газа и равен Cₚ/Cᵥ, а не является универсальным числом. Перед решением проверьте, какой газ дан, и помните, что для обычного газа ᵞ > 1.

Связь с другими темами

До изучения адиабаты нужны уравнение состояния идеального газа, понятия работы и внутренней энергии, теплоёмкость и первый закон термодинамики. Эти знания объясняют происхождение формул и знаков.

Адиабатные процессы встречаются при изучении тепловых машин, газовых турбин и двигателей внутреннего сгорания. Они также помогают описывать подъём и расширение воздуха в атмосфере.

На pV-диаграмме работа газа равна площади под графиком процесса. Сравнение адиабаты с изотермой показывает, почему при одинаковом расширении давление в адиабатном случае падает быстрее.

Что запомнить

• При адиабатном процессе Q = 0.
• Для идеального газа адиабата описывается уравнением pV^ᵞ = const.
• При расширении газ охлаждается, а при сжатии нагревается.
• При адиабатном расширении работа совершается за счёт внутренней энергии газа.
• Показатель адиабаты ᵞ = Cₚ/Cᵥ и больше единицы.
• Адиабата на pV-графике круче изотермы.
• Адиабатный процесс близок к быстрому процессу в теплоизолированной системе.