§ 5.7. Адиабатный процесс

Определения и обозначения

Адиабатный процесс — процесс, при котором газ не обменивается теплотой с окружающей средой: Q = 0. Это не означает, что энергия газа не меняется: он может получать или отдавать энергию в форме работы. Условие Q = 0 позволяет упростить первый закон термодинамики.

Показатель адиабаты — отношение молярных теплоёмкостей газа: γ = C_p/C_V. Теплоёмкость C_V относится к нагреванию при постоянном объёме, а C_p — при постоянном давлении. Величина γ показывает, насколько быстро меняется давление при адиабатном изменении объёма.

Уравнение Пуассона — связь параметров идеального газа при адиабатном процессе: pV^γ = const. Оно связывает давление p и объём V в любых двух состояниях одной адиабаты. Из него получают также формулы для температуры и других параметров.

Адиабатная система — система, теплообмен которой с окружающей средой отсутствует или пренебрежимо мал. Такой результат достигается хорошей теплоизоляцией или малой продолжительностью процесса. Понятие помогает понять, когда допустимо принять Q равным нулю.

Как это устроено

Теплообмен отсутствует, если стенки сосуда плохо проводят тепло или процесс идёт быстрее, чем энергия успевает перейти через границу системы. Например, при резком расширении газа контакт с окружающей средой длится очень недолго. Поэтому быстрый процесс иногда считают адиабатным, но это приближение нужно обосновать.

Первый закон термодинамики записывают как Q = ΔU + A, где A — работа газа. При Q = 0 получаем ΔU = −A: если газ совершает положительную работу, его внутренняя энергия уменьшается. Если внешние силы сжимают газ, работа газа отрицательна, поэтому внутренняя энергия возрастает.

При адиабатном расширении газ толкает поршень и расходует на это собственную энергию. Для идеального газа внутренняя энергия зависит от температуры, поэтому температура снижается. При сжатии поршень передаёт газу энергию, и температура повышается, хотя теплота извне не подводится.

Чтобы получить уравнения Пуассона, используют pV = nRT и связь изменения внутренней энергии с температурой: dU = nC_VdT. Для адиабаты dQ = 0, поэтому nC_VdT = −p dV. Подстановка p = nRT/V и γ = C_p/C_V после преобразования даёт pV^γ = const, а объединение с уравнением состояния — TV^γ−1 = const.

На p–V диаграмме изотерма подчиняется закону pV = const, а адиабата — закону pV^γ = const. При увеличении V давление на адиабате уменьшается быстрее, поскольку газ одновременно расширяется и охлаждается. Поэтому адиабата проходит круче изотермы.

Сравнение адиабатного процесса с основными изопроцессами

Сначала найдите в условии постоянную величину: объём, давление, температуру или отсутствие теплообмена. Затем выберите соответствующую строку и формулу связи параметров. Обращайте внимание на знак работы: в адиабатном процессе он сразу определяет знак изменения внутренней энергии.

Разбор задач

Задача 1

Газ в теплоизолированном цилиндре расширился и совершил работу 200 Дж. Нужно определить изменение его внутренней энергии. Теплоизоляция означает, что процесс можно считать адиабатным. Работа газа при расширении положительна.

1. Записываем первый закон: Q = ΔU + A.
2. Для адиабаты Q = 0, поэтому 0 = ΔU + A.
3. Подставляем A = 200 Дж: ΔU = −200 Дж.

Ответ: внутренняя энергия уменьшилась на 200 Дж, ΔU = −200 Дж.

Задача 2

Одноатомный идеальный газ расширяется от V до 2V, его начальная температура равна 300 К. Для одноатомного газа γ = 5/3. Требуется найти конечную температуру и отношение конечного давления к начальному.

1. Из TV^γ−1 = const получаем T₂ = T₁(V₁/V₂)^γ−1.
2. Подставляем значения: T₂ = 300(1/2)^2/3 ≈ 189 К.
3. Из pV^γ = const: p₂/p₁ = (V₁/V₂)^γ = (1/2)^5/3 ≈ 0,315.

Ответ: T₂ ≈ 189 К, p₂/p₁ ≈ 0,315.

Задача 3

Газ адиабатно расширяется от V₁ до V₂, а его начальные давление и объём равны p₁ и V₁. Нужно выразить работу через эти величины и γ. Давление во время процесса меняется, поэтому работу нельзя находить как p₁(V₂ − V₁).

1. Из уравнения Пуассона pV^γ = p₁V₁^γ, значит p = p₁V₁^γ/V^γ.
2. Работа равна A = ∫_V₁^V₂ p dV = p₁V₁^γ∫V^−γdV.
3. После интегрирования A = p₁V₁^γ(V₁^1−γ − V₂^1−γ)/(γ − 1).

Ответ: A = (p₁V₁/(γ − 1))(1 − (V₁/V₂)^γ−1).

Типичные ошибки

Считать, что при адиабатном процессе температура постоянна, — ошибка: отсутствие теплообмена не равно отсутствию изменения температуры. Проверяйте, есть ли в условии именно T = const; для адиабаты температура обычно меняется.

Записывать Q = 0 для любого быстрого процесса нельзя. Быстрота лишь уменьшает время теплообмена, поэтому нужно учитывать теплоизоляцию и длительность процесса. Если это не сказано или не следует из ситуации, адиабатность надо обосновать.

Формула pV = const относится к изотерме, а для адиабаты нужна pV^γ = const. Самопроверка проста: если в условии сказано Q = 0, показатель γ должен присутствовать в связи давления и объёма.

Наконец, не путайте работу газа с работой внешних сил. При расширении A газа положительна и ΔU = −A, а при сжатии знак работы газа отрицателен. Полезно сначала выбрать соглашение о знаках и только затем подставлять числа.

Связь с другими темами

Перед изучением адиабаты нужны уравнение состояния идеального газа, первый закон термодинамики, формула работы газа и понятие молярной теплоёмкости. Эти знания объясняют происхождение уравнений Пуассона.

Тема используется при изучении тепловых машин, компрессоров и процессов сжатия и расширения газа. Она также помогает объяснить распространение звука и изменение температуры воздуха в атмосфере.

Что запомнить

• При адиабатном процессе Q = 0.
• Для адиабатного процесса справедливо pV^γ = const.
• Также выполняются соотношения TV^γ−1 = const и T^γp^1−γ = const.
• При адиабатном расширении газ охлаждается.
• При адиабатном сжатии газ нагревается.
• Показатель адиабаты γ равен отношению C_p к C_V.
• Адиабата на p–V диаграмме круче изотермы.