§ 5.6. Теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

Определения и обозначения

Теплоёмкость газа — количество теплоты, необходимое для изменения его температуры на один кельвин при оговорённых условиях процесса. Она показывает, насколько «затратно» нагревать газ, но сама по себе не задаёт способ нагревания. Для газа обязательно уточняют, что именно сохраняется постоянным.

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме C_v — количество теплоты для нагревания одного моля газа на один кельвин в изохорном процессе. При таком процессе объём не изменяется, поэтому газ не совершает работу. Величина C_v позволяет связать подведённую теплоту с изменением внутренней энергии.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении C_p — количество теплоты для нагревания одного моля газа на один кельвин в изобарном процессе. Газ при этом обычно расширяется и выполняет работу над внешними телами. Поэтому C_p нужна для расчётов теплоты в процессах с постоянным давлением.

Показатель адиабаты γ — отношение молярных теплоёмкостей газа при постоянном давлении и постоянном объёме: γ = C_p/C_v. Он не является отдельной теплоёмкостью, а характеризует свойства газа. Эта величина используется при описании адиабатных процессов.

Как это устроено

Теплоёмкость зависит от условий нагревания, потому что переданная газу энергия может распределяться по-разному. Она увеличивает внутреннюю энергию, связанную с движением и взаимодействием молекул, а иногда ещё и превращается в работу расширения. Если объём и давление поддерживаются разными способами, различается и необходимое количество теплоты. Поэтому запись только «теплоёмкость газа» без условия неполна.

Первый закон термодинамики записывается как Q = ΔU + A, где Q — полученная теплота, ΔU — изменение внутренней энергии, а A — работа газа. При постоянном объёме ΔV = 0, следовательно, A = pΔV = 0. Вся подведённая теплота идёт на изменение внутренней энергии: Q = ΔU = νC_vΔT.

При постоянном давлении нагревание повышает температуру, а объём идеального газа увеличивается. Расширяясь, газ действует на поршень и совершает работу A = pΔV. Поэтому теплота расходуется не только на рост внутренней энергии, но и на эту работу, что объясняет неравенство C_p > C_v.

Для одного моля идеального газа при постоянном давлении уравнение состояния даёт pΔV = RΔT. Подставим это в первый закон: Q = C_vΔT + RΔT. С другой стороны, Q = C_pΔT, поэтому после деления на ΔT получаем соотношение Майера: C_p − C_v = R.

Теплоёмкости связаны с числом степеней свободы молекулы — независимых способов её движения. Для одноатомного газа при обычных температурах C_v = 3R/2, C_p = 5R/2 и γ = 5/3. Для двухатомного газа учитываются поступательное и вращательное движения: C_v = 5R/2, C_p = 7R/2, γ = 7/5.

Теплоёмкости идеального газа при постоянном объёме и давлении

В таблице сначала определите условие процесса, а затем выберите формулу для теплоты. Если дано число молей, используется молярная теплоёмкость и множитель ν. Знаки и единицы можно проверить по смыслу: теплота, изменение энергии и работа измеряются в джоулях.

Разбор задач

Задача 1. Одноатомный идеальный газ количеством 2 моль нагревают при постоянном объёме от 300 до 500 К. Найдём количество подведённой теплоты. Работа отсутствует, поэтому достаточно использовать C_v.

1. Изменение температуры: ΔT = 500 − 300 = 200 К.
2. Для одноатомного газа C_v = 3R/2. Подставляем в Q = νC_vΔT.
3. Q = 2 · 3R/2 · 200 = 600R ≈ 4,99 кДж.

Ответ: Q ≈ 4,99 кДж.

Задача 2. Два моля двухатомного идеального газа нагревают при постоянном давлении на 100 К. Требуется определить работу и полученную теплоту. Сначала найдём работу расширения, затем добавим изменение внутренней энергии.

1. A = νRΔT = 2R · 100 = 200R ≈ 1,66 кДж.
2. Для двухатомного газа C_p = 7R/2, поэтому Q = νC_pΔT.
3. Q = 2 · 7R/2 · 100 = 700R ≈ 5,82 кДж.

Ответ: A ≈ 1,66 кДж, Q ≈ 5,82 кДж.

Задача 3. Для некоторого идеального газа C_v = 20,8 Дж/(моль·К). Найдём C_p, γ и теплоту для 3 моль при повышении температуры на 50 К. Здесь сначала применяем соотношение Майера, а затем изобарную формулу.

1. C_p = C_v + R = 20,8 + 8,31 = 29,11 Дж/(моль·К).
2. γ = C_p/C_v = 29,11/20,8 ≈ 1,40.
3. Q = νC_pΔT = 3 · 29,11 · 50 ≈ 4,37 кДж.

Ответ: C_p ≈ 29,11 Дж/(моль·К), γ ≈ 1,40, Q ≈ 4,37 кДж.

Типичные ошибки

Одна теплоёмкость для всех процессов. C_v и C_p различаются из-за работы газа при расширении. Проверьте, что именно поддерживается постоянным.

Запись Q = ΔU при постоянном давлении. Это равенство требует нулевой работы и обычно относится к постоянному объёму. При постоянном давлении используйте Q = ΔU + A.

Смешение теплоёмкостей. Массовая теплоёмкость относится к единице массы, молярная — к одному молю, а полная — ко всему газу. Сверяйте единицы и наличие множителя ν.

Ошибочное мнение о реальном газе. Для идеального газа C_p и C_v тоже различаются: C_p − C_v = R. Если получилось равенство, значит, потеряна работа расширения.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны уравнение состояния идеального газа, понятия внутренней энергии и работы газа, а также первый закон термодинамики. Показатель γ применяется при изучении адиабатного процесса и уравнения Пуассона. Теплоёмкости также нужны при расчёте тепловых машин, циклов и количества теплоты в разных процессах.

Что запомнить

• Теплоёмкость газа всегда задаётся вместе с условием процесса.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю, поэтому Q = ΔU.
• При постоянном давлении часть теплоты увеличивает внутреннюю энергию, а часть идёт на работу расширения.
• Для идеального газа C_p больше C_v.
• Для одного моля идеального газа C_p − C_v = R.
• Показатель адиабаты определяется отношением γ = C_p/C_v.
• Значения теплоёмкостей зависят от строения молекул и числа степеней свободы.