§ 48. Применение уравнения теплового баланса

Определения и обозначения

Уравнение теплового баланса — равенство, выражающее сохранение энергии при теплообмене между телами в теплоизолированной системе. Оно нужно, чтобы связать изменения энергии всех участников процесса и найти неизвестную величину, например конечную температуру.

Тепловой баланс — распределение полученной и отданной телами энергии до установления общей температуры. Иными словами, он показывает, кто теряет энергию, кто её получает и как эти изменения связаны между собой.

Количество теплоты — энергия, которую тело получает или отдаёт при нагревании, охлаждении или изменении агрегатного состояния. Его обозначают Q и используют для описания энергетического вклада каждого тела в расчёт.

Теплоизолированная система — тела, теплообменом которых с окружающей средой можно пренебречь. Такое допущение позволяет считать, что энергия не теряется наружу, поэтому баланс составляют только для выбранных тел внутри системы.

Как это устроено

При теплообмене более нагретые тела отдают энергию, а менее нагретые получают её. Это происходит потому, что самопроизвольный теплообмен выравнивает температуры; в теплоизолированной системе энергия не исчезает, а перераспределяется между телами.

Уравнение теплового баланса получают из закона сохранения энергии: сумма количеств теплоты, полученных и отданных всеми телами, равна нулю. Если полученное тепло считать положительным, а отданное отрицательным, запись имеет вид ΣQ = 0. Можно вместо этого приравнять количество теплоты, отданное одними телами, количеству теплоты, полученному другими.

Для каждого тела количество теплоты находят по происходящему с ним процессу. При нагревании или охлаждении без изменения агрегатного состояния используют формулу Q = cmΔt, где m — масса, c — удельная теплоёмкость, Δt — изменение температуры. При фазовом переходе температура может не меняться, поэтому применяют формулы с удельной теплотой плавления или парообразования.

Перед составлением уравнения определяют состав системы, начальные состояния тел и возможное конечное состояние. Это нужно, чтобы не забыть участника теплообмена и понять, какие процессы проходят каждый из них. При установившемся тепловом равновесии у тел одна конечная температура, но при фазовом переходе возможны отдельные случаи, например часть льда может не растаять.

Затем записывают теплоту для каждого тела и решают полученное уравнение относительно искомой величины. В конце проверяют, согласуется ли ответ с направлением теплообмена и предполагаемыми процессами. Такая проверка помогает обнаружить, например, отрицательную массу льда или температуру, которую система не могла достичь.

Как записывать вклад тела в уравнение теплового баланса

В формулах t₁ — начальная, а t₂ — конечная температура; λ и L — удельные теплоты соответствующих фазовых переходов. Если в выражении Q = cm(t₂ − t₁) конечная температура ниже начальной, знак получится отрицательным автоматически. Для фазового перехода знак выбирают по направлению процесса.

Разбор задач

Смешивание двух порций воды

Две порции воды с массами m₁ и m₂ и температурами t₁ и t₂ смешали в теплоизолированном сосуде; теплоёмкостью сосуда пренебрегают. Пусть t₁ выше t₂, а удельная теплоёмкость воды равна c. Требуется найти установившуюся температуру t.

1. Тёплая вода остывает, поэтому её теплота Q₁ = cm₁(t − t₁) отрицательна. Холодная вода нагревается, и Q₂ = cm₂(t − t₂) положительна.
2. Записываем баланс Q₁ + Q₂ = 0. После сокращения на c получаем m₁(t − t₁) + m₂(t − t₂) = 0.
3. Раскрываем скобки и выражаем неизвестную температуру: t = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂).

Ответ: t = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Это средневзвешенная температура, которая находится между начальными температурами воды.

Металлический цилиндр и калориметр

Нагретый цилиндр массой mм с удельной теплоёмкостью cм опустили в воду массой mв и теплоёмкостью cв. Начальные температуры металла и воды равны tм и tв, теплоёмкость калориметра C, его начальная температура совпадает с температурой воды. Найдём общую конечную температуру t, считая, что металл остывает.

1. Определяем участников: металл отдаёт энергию, а вода и калориметр её получают. Калориметр нельзя исключить, поскольку его теплоёмкость задана.
2. Записываем их вклады: Qм = cмmм(t − tм), Qв = cвmв(t − tв), Qк = C(t − tв). Для металла выражение отрицательно, если t ниже tм.
3. Составляем баланс Qм + Qв + Qк = 0 и решаем его относительно t. Получаем t = (cмmмtм + (cвmв + C)tв)/(cмmм + cвmв + C).

Ответ: конечная температура задаётся полученным выражением. Её значение должно лежать между начальными температурами металла и воды.

Лёд в воде

В воду массой mв при температуре tв выше 0 °C поместили лёд массой mл при 0 °C. Даны удельная теплоёмкость воды c и удельная теплота плавления льда λ; нужно определить конечное состояние. Не предполагаем заранее, что лёд растает полностью.

1. Находим, сколько теплоты вода может отдать, остыв до 0 °C: Qв = c mв tв. Для полного плавления льда нужно Qпл = λmл.
2. Если Qв < Qпл, теплоты не хватает: растает лишь часть льда, а смесь останется при 0 °C. Масса растаявшего льда равна Qв/λ.
3. Если Qв = Qпл, весь лёд растает, и вода с системой окажутся при 0 °C. Если Qв > Qпл, лёд расплавится, остаток теплоты нагреет получившуюся воду.
4. В последнем случае составляем баланс c mв(tв − t) = λmл + c mлt и решаем его относительно t.

Ответ: сравнение Qв и Qпл показывает, растает ли лёд полностью; при избытке теплоты конечную температуру находят из последнего уравнения.

Типичные ошибки

Ошибка — считать теплоту всех тел положительной. Так делают, когда не различают получение и отдачу энергии, но в балансе это приводит к неверному равенству. Выберите единое правило знаков: нагревание даёт положительное Q, охлаждение — отрицательное, и проверьте знак каждого слагаемого.

Иногда из расчёта исключают сосуд или калориметр, хотя их теплоёмкостью нельзя пренебречь. Это происходит потому, что внимание сосредоточено на веществах, но сосуд тоже меняет температуру и обменивается энергией. Проверьте условие: если дана теплоёмкость калориметра или сказано учитывать его нагрев, добавьте отдельный вклад в баланс.

Формулу нагревания применяют даже тогда, когда тело плавится или испаряется. При фазовом переходе энергия расходуется не на изменение температуры, а на изменение агрегатного состояния. Проверьте, есть ли в условии лёд, кипение или конденсация, и включите слагаемое λm или Lm.

Также нельзя без проверки считать, что весь лёд растает или тело достигнет выбранной температуры. Такое предположение может противоречить запасу энергии системы. Сравните необходимую теплоту с доступной и проверьте, соответствует ли итоговая температура возможному состоянию вещества.

Связь с другими темами

Для решения задач на тепловой баланс нужны формулы количества теплоты при нагревании и охлаждении, плавлении и парообразовании. Без них нельзя правильно описать энергетический вклад каждого участника процесса. Знак и вид формулы выбирают по тому, что происходит с конкретным телом.

Основа метода — закон сохранения энергии: теплообмен меняет распределение энергии внутри системы, но не её общую величину, если потерями можно пренебречь. Поэтому уравнение применяют в задачах о смешивании веществ, фазовых переходах и работе калориметра. Оно связывает отдельные тепловые процессы в одной системе.

Что запомнить

• В теплоизолированной системе энергия при теплообмене сохраняется.
• Теплота, отданная одними телами, равна теплоте, полученной другими.
• В алгебраической записи теплового баланса сумма количеств теплоты равна нулю.
• Каждому телу соответствует свой вклад в уравнение баланса.
• Теплоёмкость сосуда учитывают, если ею нельзя пренебречь.
• При фазовом переходе необходимо учитывать скрытую теплоту.
• Найденное конечное состояние нужно проверить на физическую возможность.