§ 48. Применение уравнения теплового баланса

Определения и обозначения

Уравнение теплового баланса — равенство количества теплоты, отданного одними телами, и количества теплоты, полученного другими телами. Оно следует из сохранения энергии: в системе без потерь энергия не исчезает, а переходит от более тёплых тел к более холодным. По этому равенству можно находить неизвестную температуру, массу или теплоёмкость.

Тепловой баланс — распределение теплоты между всеми участниками теплового процесса с учётом нагревания, охлаждения и фазовых переходов. Это более полное описание теплообмена, чем одно равенство для двух тел: в расчёт могут входить сосуд, калориметр и окружающая среда. Сначала составляют список участников, чтобы не пропустить часть энергии.

Калориметр — прибор для измерения количества теплоты и определения теплоёмкости веществ. Обычно он устроен так, чтобы уменьшить обмен с внешней средой, но сам прибор тоже может нагреваться или охлаждаться. Поэтому его вклад иногда включают в уравнение отдельным слагаемым.

Тепловые потери — часть энергии, переданная окружающей среде или не учтённая в идеализированной модели процесса. Например, нагревается не только вода, но и стенки сосуда, а часть теплоты уходит в воздух. Если потери известны или их можно оценить, их учитывают при вычислении энергии, затраченной установкой.

Как это устроено

Сначала определяют участников теплообмена: все тела, которые соприкасаются или обмениваются энергией, включая сосуд и калориметр. Для каждого выясняют начальное состояние и возможный процесс — нагревание, охлаждение или фазовый переход. Это необходимо, потому что исключённый участник может поглотить часть теплоты, и расчёт тогда даст неверный результат.

Если система изолирована от окружающей среды, энергия не уходит наружу. Поэтому теплота, которую теряют одни тела, передаётся другим: сумма отданных количеств теплоты равна сумме полученных. Удобно записывать их двумя группами без знаков или складывать все Q со знаками: для отдающих тел Q отрицательно, для получающих — положительно.

При изменении температуры используют Q = cmΔt, где Δt — разность конечной и начальной температур по модулю. Для плавления или кристаллизации применяют Q = λm, где λ — удельная теплота плавления; для парообразования или конденсации — Q = Lm, где L — удельная теплота парообразования. Если процесс состоит из нескольких этапов, например нагревания льда, его плавления и нагревания воды, теплоты этапов складывают.

Начальная и конечная температуры нужны отдельно для каждого тела: в общем случае они различаются. Если горячее тело остывает от tнач до tкон, отданное количество теплоты по модулю равно cm(tнач − tкон); если холодное нагревается, оно получает cm(tкон − tнач). Такой выбор разностей позволяет избежать отрицательной теплоты в равенстве сумм и не перепутать направление обмена.

В реальной установке часть энергии может нагреть калориметр или сосуд либо уйти в окружающую среду. Теплоту калориметра вычисляют по формуле Q = CΔt, где C — его теплоёмкость, и добавляют к полученной или отданной теплоте в зависимости от изменения температуры. Если нагреватель работает с КПД η, то полезная теплота составляет ηE от потреблённой энергии E; значит, E = Qполезн / η.

Количество теплоты для разных участников теплового процесса

Выберите для каждой строки реальные процессы из условия и укажите их направление. Для нагревания и охлаждения Δt считают между температурами именно этого участника, а при фазовом переходе используют отдельную формулу. После этого отнесите каждое слагаемое к отдаваемой или получаемой теплоте.

В формулах ниже Q указан по модулю; знак в общей сумме зависит от того, отдаёт участник энергию или получает её. Здесь c — удельная теплоёмкость, C — теплоёмкость прибора, λ и L — удельные теплоты плавления и парообразования.

Разбор задач

Смешивание воды

Смешали 0,20 кг воды при 80 °C и 0,30 кг воды при 20 °C. Нужно найти установившуюся температуру без учёта потерь. Горячая вода остывает, а холодная нагревается; обе массы состоят из одного вещества, поэтому удельная теплоёмкость сокращается.

1. Обозначим конечную температуру через t. Запишем равенство отданной и полученной теплоты: 0,20c(80 − t) = 0,30c(t − 20).
2. Сократим c и раскроем скобки: 16 − 0,20t = 0,30t − 6. Тогда 22 = 0,50t.
3. Получаем t = 44 °C. Проверка: ответ находится между 20 °C и 80 °C, как и должно быть при смешивании без внешнего нагрева.

Ответ: установившаяся температура воды равна 44 °C.

Определение теплоёмкости металла

Тело массой 0,20 кг при 100 °C опустили в 0,30 кг воды при 20 °C; после установления равновесия температура стала 25 °C. Требуется найти удельную теплоёмкость металла, теплоёмкостью калориметра пренебрегаем. Металл остывает на 75 °C, а вода нагревается на 5 °C, поэтому их количества теплоты записываются с разными температурными разностями.

1. По условию теплота, отданная металлом, равна теплоте, полученной водой: 0,20cм(100 − 25) = 0,30 · 4200 · (25 − 20).
2. Вычислим теплоту воды: Qв = 0,30 · 4200 · 5 = 6300 Дж. Тогда 0,20cм · 75 = 6300.
3. Выразим неизвестную: cм = 6300 / (0,20 · 75) = 420 Дж/(кг·°C). Размерность соответствует удельной теплоёмкости.

Ответ: удельная теплоёмкость металла равна 420 Дж/(кг·°C).

Электронагреватель и испарение

Нагреватель с КПД 80% нагревает 2 кг воды от 20 °C до 100 °C и испаряет 0,10 кг. Нужно определить потреблённую электроэнергию. Сначала найдём энергию, переданную воде, а затем разделим её на КПД, поскольку нагреватель расходует больше энергии, чем полезно получает вода.

1. На нагревание всей воды требуется Qнаг = cmΔt = 4200 · 2 · (100 − 20) = 672 000 Дж.
2. На парообразование 0,10 кг при 100 °C требуется Qпар = Lm = 2 300 000 · 0,10 = 230 000 Дж. Суммарная полезная теплота равна 902 000 Дж.
3. Преобразуем КПД: η = 0,80. Тогда E = Qполезн / η = 902 000 / 0,80 = 1 127 500 Дж, или примерно 1,13 МДж.

Ответ: нагреватель потребляет около 1,13 МДж электроэнергии.

Типичные ошибки

Первая ошибка — приравнивать теплоты всех тел, не выяснив, кто отдаёт энергию, а кто получает. Так допускают потому, что формулы похожи, но одно тело обычно охлаждается, а другое нагревается. Перед записью баланса отметьте направление изменения температуры и проверьте, что равенство сравнивает отдачу с получением.

Вторая ошибка — использовать одну и ту же разность температур для всех участников. У каждого тела своя начальная температура, хотя конечная температура после установления равновесия может быть общей. Проверка проста: подставьте в формулу отдельно начальную и конечную температуры каждого тела и убедитесь, что разность соответствует его нагреванию или охлаждению.

Третья ошибка — забывать о теплоёмкости калориметра, сосуда или о потерях. Это случается, когда задачу сводят только к двум веществам; проверьте условие и перечень участников процесса. Если прибор нагревается, его теплота должна появиться в балансе, а учтённые потери — уменьшить энергию, доступную телам.

Четвёртая ошибка — не учитывать скрытую теплоту фазового перехода или подставлять в неё массу всего тела. При переходе температура может не меняться, поэтому его вклад легко упустить, а кристаллизоваться или испариться может только часть вещества. Разделите процесс на этапы и используйте массу именно той части, которая меняет состояние.

Связь с другими темами

Для расчётов нужно знать формулу Q = cmΔt, понятие удельной теплоёмкости и закон сохранения энергии. Поэтому уравнение теплового баланса объединяет сведения о нагревании и охлаждении с общим принципом сохранения энергии. В задачах с плавлением, парообразованием и конденсацией к нему добавляют формулы скрытой теплоты фазового перехода.

Метод применяют в калориметрии, при оценке теплообмена в отоплении и анализе работы тепловых установок. Он позволяет сравнивать полезную энергию с затраченной и находить КПД. Такой расчёт помогает понять, куда уходит энергия и какие части установки участвуют в теплообмене.

Что запомнить

• В замкнутой системе отданная теплота равна полученной.
• Сначала определите всех участников теплообмена и происходящие с ними процессы.
• Для нагревания и охлаждения используйте формулу Q = cmΔt.
• При фазовом переходе температура может не изменяться, но теплота расходуется или выделяется.
• Теплоёмкость сосуда и калориметра включайте в баланс отдельным слагаемым.
• Тепловые потери уменьшают полезную теплоту и должны быть учтены в расчёте.
• Правильно составленный баланс позволяет найти неизвестную температуру, массу, теплоёмкость или энергию.