§ 46. Применение уравнения состояния идеального газа

Определения и обозначения

Уравнение состояния идеального газа — зависимость между давлением p, объёмом V, температурой T и количеством вещества ν: pV = νRT. Оно показывает, какие значения этих величин могут одновременно описывать состояние газа. Если известны три из них и количество газа, уравнение помогает найти четвёртую.

Количество вещества — величина ν, характеризующая число частиц газа. Для газа массой m её вычисляют по формуле ν = m/M, где M — молярная масса. Это позволяет перейти от массы образца к числу молей, которое требуется подставлять в уравнение состояния.

Молярная масса — масса одного моля вещества. Её обозначают M и используют, чтобы связать массу газа с количеством вещества: m = νM. Зная состав газа, можно определить его молярную массу, а затем применять уравнение состояния даже тогда, когда в условии дана только масса.

Универсальная газовая постоянная — постоянная R, одинаковая для всех идеальных газов и равная примерно 8,31 Дж/(моль·К). Она входит в уравнение как коэффициент, связывающий механические характеристики газа с его температурой и количеством вещества. Её единицы помогают проверить, согласованы ли единицы остальных величин.

Как это устроено

В уравнение pV = νRT подставляют давление газа, объём, абсолютную температуру и количество вещества. Каждая величина описывает состояние газа с отдельной стороны: давление связано с действием частиц на стенки, объём — с занимаемым пространством, температура — со средней энергией их движения. Если газ находится в закрытом сосуде и его состав не меняется, число молей остаётся постоянным; при утечке или добавлении газа ν уже может измениться.

Температура в уравнении должна отсчитываться от абсолютного нуля, поэтому используют кельвины: T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия. Нулевая температура по шкале Цельсия не означает отсутствия теплового движения, поэтому подстановка t вместо T исказит результат. Давление выражают в паскалях, объём — в кубических метрах, массу — в килограммах, а количество вещества — в молях: эти единицы согласуются с R в СИ.

Если требуется найти одну величину, уравнение преобразуют, оставляя её одну в левой части: p = νRT/V, V = νRT/p, T = pV/(νR), ν = pV/(RT). Массу находят через количество вещества: m = νM = pVM/(RT). Выбор преобразования зависит от вопроса задачи, а перед вычислением полезно выписать известные данные и проверить их единицы.

Для двух состояний одной и той же порции газа записывают p₁V₁ = νRT₁ и p₂V₂ = νRT₂. Поскольку ν и R одинаковы в обоих уравнениях, их можно приравнять после деления на температуру: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Эта связь позволяет сравнивать состояния без отдельного вычисления количества вещества, но только если газ не добавляли и не выпускали.

Плотность газа — это масса, приходящаяся на единицу объёма: ρ = m/V. Из уравнения состояния выражают количество вещества как ν = pV/(RT), а затем используют m = νM. После деления массы на объём получается ρ = pM/(RT). Формула полезна, когда плотность нужно найти по давлению, температуре и известному составу газа.

Величины и расчётные формулы при применении уравнения состояния идеального газа

Сначала найдите строку с искомой величиной, затем проверьте, что остальные значения известны и выражены в единицах СИ. Для массы или плотности дополнительно понадобится молярная масса газа. Если в задаче заданы не СИ, переведите данные до подстановки.

Разбор задач

Давление газа по уравнению состояния

Найти давление 2 моль идеального газа при температуре 300 К, занимающего объём 0,05 м³. Здесь известны количество вещества, температура и объём, поэтому напрямую применим формулу для давления. Все данные уже выражены в единицах СИ.

1. Запишем формулу: p = νRT/V.
2. Подставим значения: p = 2 · 8,31 · 300 / 0,05.
3. Вычислим: p = 99 720 Па, или примерно 99,7 кПа.

Ответ: давление газа равно примерно 1,0 · 10⁵ Па.

Нагрев газа в закрытом сосуде

Газ в закрытом сосуде нагрели от 300 К до 450 К. Начальное давление равно 100 кПа; нужно найти конечное. Поскольку объём сосуда постоянен, а сосуд закрыт, количество газа также не меняется. Поэтому в отношении двух состояний сокращается объём, и можно использовать p₁/T₁ = p₂/T₂.

1. Выразим конечное давление: p₂ = p₁T₂/T₁.
2. Подставим: p₂ = 100 кПа · 450 К / 300 К.
3. Вычислим: p₂ = 150 кПа. Температуры уже указаны в кельвинах, поэтому дополнительного перевода не требуется.

Ответ: конечное давление равно 150 кПа.

Равновесие поршня

Пусть газ находится под поршнем площадью S, а сверху на поршень действуют внешнее давление p₀ и сила нагрузки F. В условии числовых значений нет, поэтому запишем общий способ решения. Считаем, что поршень движется без трения и газ под ним имеет температуру T и массу m.

1. В равновесии сила давления газа уравновешивает внешние силы: pS = p₀S + F. Отсюда давление газа p = p₀ + F/S.
2. Найдём количество газа по массе: ν = m/M, где M — молярная масса.
3. Подставим давление и количество вещества в уравнение состояния: V = (m/M)RT/(p₀ + F/S).
4. Если цилиндр имеет постоянное сечение S, объём газа связан с высотой h под поршнем формулой V = Sh. Значит, h = V/S.

Ответ: положение поршня задаётся высотой h = mRT/[MS(p₀ + F/S)].

Типичные ошибки

Подстановка градусов Цельсия вместо кельвинов даёт неверное соотношение между температурой и состоянием газа. Так ошибаются, потому что оба значения называют температурой, но у шкал разные нулевые точки. Проверьте себя: в уравнении состояния температура должна быть больше или равна нулю по абсолютной шкале; перед расчётом выполните перевод T = t + 273,15.

Литры, атмосферы или граммы нельзя бездумно подставлять вместе с R в единицах СИ. Такие данные часто приводят в удобных бытовых единицах, но они не согласуются с паскалями, кубическими метрами и килограммами. До вычислений переведите объём в м³, давление в Па, массу в кг, а молярную массу — в кг/моль.

Количество вещества считают постоянным не при любых обстоятельствах. Это верно для одной и той же закрытой порции газа, но при утечке или добавлении газа число молей меняется. Проверьте условие: упоминание открытого сосуда, клапана или подкачки может означать, что ν нельзя сокращать при сравнении состояний.

Формулу для двух состояний применяют только после проверки условий перехода. Если в записи p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ не учесть изменение количества газа, результат будет неверным; также нельзя подменять её формулой для постоянного объёма или постоянного давления без оснований. Перед решением выясните, одна ли это порция газа и какие характеристики действительно остаются неизменными.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением состояния нужны понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы, а также умение переводить величины в единицы СИ. Газовые законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака и Шарля получаются из уравнения состояния при определённых постоянных величинах. Позже оно пригодится при изучении термодинамики и тепловых машин, а также в задачах о параметрах газов и атмосфере.

Что запомнить

• Уравнение состояния идеального газа: pV = νRT.
• Температуру в этом уравнении выражают только в кельвинах.
• Количество вещества находят по формуле ν = m/M.
• Для постоянной порции газа справедливо pV/T = const.
• Перед решением переводят все величины в единицы СИ.
• Плотность идеального газа определяется формулой ρ = pM/(RT).