§ 61. Расчёт электрических цепей

Определения и обозначения

Узел разветвлённой цепи — точка, в которой сходятся три или более проводника. В узлах токи распределяются между ветвями или собираются из них, поэтому узел помогает записать связь между токами в разных частях схемы.

Ветвь электрической цепи — участок между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток. Выделение ветвей позволяет обозначить токи и понять, какие части цепи нужно описывать отдельными уравнениями.

Контур электрической цепи — замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям и возвращающийся в исходную точку. Для контура составляют уравнение по второму правилу Кирхгофа, связывая падения напряжения и ЭДС источников.

Правила Кирхгофа — правила составления уравнений для токов и напряжений в разветвлённых цепях. Они позволяют учитывать сохранение электрического заряда в узлах и энергетический баланс при обходе замкнутых контуров.

Как это устроено

Перед расчётом обозначают ветви и узлы, а затем задают условные направления токов. Неизвестное направление нельзя заранее угадать, но его можно принять любым: уравнения покажут, согласуется ли выбор с результатом. Положительное значение подтверждает выбранное направление, отрицательное указывает на противоположное. Отрицательный знак не меняет физический смысл силы тока, а только уточняет стрелку на схеме.

Для каждого узла записывают первое правило Кирхгофа: сумма входящих токов равна сумме выходящих. Это следует из сохранения заряда: если бы в узле за одинаковое время входило больше заряда, чем выходило, заряд в нём накапливался бы. Например, если к узлу подходят токи I₁ и I₂, а уходит I₃, то I₁ + I₂ = I₃. Одно из этих токовых уравнений может оказаться зависимым от остальных, поэтому для расчёта выбирают независимые уравнения.

Для замкнутого контура применяют второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжения и ЭДС равна нулю. Иначе говоря, энергия, которую источники сообщают зарядам при обходе, компенсируется энергией, переданной элементам цепи. Сначала задают направление обхода, затем расставляют знаки: на резисторе напряжение считают падением, если обход идёт по току, а ЭДС положительна при переходе от минуса источника к плюсу. Последовательный выбор знаков важнее, чем направление обхода само по себе.

В неразветвлённой цепи с последовательными резисторами через все элементы проходит один и тот же ток. Поэтому сначала находят эквивалентное сопротивление: Rобщ = R₁ + R₂ + …, а затем используют закон Ома I = Uобщ/Rобщ. Напряжение на каждом резисторе вычисляют отдельно по формуле Uᵢ = IRᵢ. Так видно, почему на большем сопротивлении при одинаковом токе падает большее напряжение.

Если резисторы подключены параллельно, напряжение на каждой ветви одинаково, поскольку ветви соединяют одну и ту же пару узлов. Ток в каждой ветви находят по закону Ома, а общий ток — сложением токов ветвей; эквивалентное сопротивление рассчитывают по формуле 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + …. В сложной цепи сначала упрощают доступные последовательные или параллельные участки. Если упростить схему целиком нельзя, записывают независимые уравнения для узлов и контуров по правилам Кирхгофа и решают их совместно.

Свойства последовательного и параллельного соединения проводников

Сначала определите, соединены ли элементы последовательно или параллельно: это сразу подскажет, какая величина одинакова. Затем выберите формулу общего сопротивления и проверьте, согласуется ли найденное значение с устройством цепи. При параллельном соединении общее сопротивление должно быть меньше сопротивления каждой отдельной ветви.

Разбор задач

Задача 1. К источнику напряжением 12 В последовательно подключены резисторы сопротивлениями 2 Ом и 4 Ом. Найти силу тока и напряжение на каждом резисторе.

1. При последовательном соединении ток через оба резистора одинаков, а общее сопротивление равно сумме сопротивлений: Rобщ = 2 + 4 = 6 Ом.
2. По закону Ома находим ток: I = U/Rобщ = 12/6 = 2 А.
3. На первом резисторе напряжение U₁ = IR₁ = 2 · 2 = 4 В, на втором U₂ = IR₂ = 2 · 4 = 8 В.
4. Проверяем результат: U₁ + U₂ = 4 + 8 = 12 В, что совпадает с напряжением источника.

Ответ: сила тока 2 А; напряжения на резисторах — 4 В и 8 В соответственно.

Задача 2. Резисторы сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к источнику напряжением 12 В. Найти ток в каждой ветви и общий ток.

1. Напряжение на обеих параллельных ветвях равно напряжению источника, то есть 12 В.
2. По закону Ома ток через резистор 6 Ом равен I₁ = 12/6 = 2 А, а через резистор 3 Ом — I₂ = 12/3 = 4 А.
3. По первому правилу Кирхгофа общий ток равен сумме токов ветвей: Iобщ = I₁ + I₂ = 2 + 4 = 6 А.
4. Проверяем распределение: в ветви с меньшим сопротивлением ток больше, что согласуется с законом Ома при одинаковом напряжении.

Ответ: токи в ветвях — 2 А и 4 А; общий ток — 6 А.

Задача 3. Составить уравнения для двухконтурной цепи с общим резистором R₃, двумя источниками ЭДС E₁ и E₂ и резисторами R₁ и R₂ в отдельных ветвях. Числовые значения параметров не заданы, поэтому найти численные токи нельзя; можно записать систему, которая их определяет.

1. Обозначим токи в левой и правой ветвях I₁ и I₂ и условно направим их по часовой стрелке в своих контурах. В общем резисторе токи направлены навстречу друг другу, поэтому ток в нём равен I₁ − I₂ при выбранном направлении слева направо.
2. Для узла, где ветви соединяются с общим резистором, применяем первое правило Кирхгофа: ток общего участка равен алгебраической разности контурных токов. Это учитывает, что один и тот же общий резистор входит в оба контура.
3. Обходим каждый контур по направлению соответствующего тока. Для левого контура получаем (R₁ + R₃)I₁ − R₃I₂ = E₁, а для правого — −R₃I₁ + (R₂ + R₃)I₂ = E₂.
4. Решаем систему относительно I₁ и I₂, подставив значения сопротивлений и ЭДС. Если один из результатов отрицателен, фактический ток этой ветви направлен противоположно выбранному.

Ответ: уравнения цепи — (R₁ + R₃)I₁ − R₃I₂ = E₁ и −R₃I₁ + (R₂ + R₃)I₂ = E₂; численные значения токов без параметров схемы определить нельзя.

Типичные ошибки

При последовательном соединении иногда считают одинаковым напряжение на каждом резисторе. Так путают последовательную цепь с параллельной, где действительно одинаково напряжение; в последовательной цепи одинаков ток, а падение напряжения зависит от сопротивления. Проверьте себя: сумма напряжений на элементах должна дать общее напряжение источника.

При параллельном соединении ошибочно принимают одинаковыми токи всех ветвей. Это возможно лишь при равных сопротивлениях, тогда как общее правило состоит в равенстве напряжений; токи определяются законом Ома. Для проверки найдите ток каждой ветви отдельно и сложите их — должен получиться общий ток.

В уравнении контура легко перепутать знаки падений напряжения и ЭДС, если не указать направление обхода. Ошибка возникает, когда знаки ставят наугад или меняют условие для разных участков. Сначала нарисуйте стрелки токов и направление обхода, затем для каждого резистора сравните обход с током, а для источника — с переходом от минуса к плюсу.

Отрицательный ток иногда принимают за ошибку вычисления или игнорируют его знак. Но направление было выбрано условно, поэтому отрицательное значение сообщает о противоположном реальном направлении. Проверьте, что величина тока получена из системы уравнений, а при оформлении ответа правильно указано направление.

Связь с другими темами

Для расчёта цепей нужны закон Ома для участка цепи и понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Также следует знать, как ведут себя резисторы при последовательном и параллельном соединении: это позволяет заменять простые участки эквивалентным сопротивлением. Правила Кирхгофа расширяют эти знания на цепи с разветвлениями и несколькими источниками. Такой способ расчёта пригодится при анализе реальных схем с потребителями и источниками тока. Он также служит основой для изучения мощности и работы электрического тока, а также электрических измерительных приборов.

Что запомнить

• В последовательной цепи сила тока одинакова во всех элементах.
• В параллельных ветвях напряжение одинаково.
• Эквивалентное сопротивление последовательного соединения равно сумме сопротивлений.
• Для параллельного соединения складываются величины, обратные сопротивлениям.
• Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него.
• В замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений и ЭДС равна нулю.