§ 61. Расчёт электрических цепей

Определения и обозначения

Узел электрической цепи — точка соединения трёх или более проводников. В узле ток может разделяться по нескольким направлениям или, наоборот, сходиться в один проводник. Узлы помогают понять, где начинаются и заканчиваются отдельные участки цепи.

Ветвь электрической цепи — участок между двумя узлами, по которому проходит один и тот же ток. Ветвь может содержать один резистор или несколько последовательно соединённых элементов. Выделение ветвей нужно для определения токов в разветвлённой цепи.

Последовательное соединение проводников — соединение, при котором элементы образуют одну ветвь и через них проходит одинаковый ток. Ток не получает другого пути между элементами. Такое соединение удобно заменять одним сопротивлением, равным сумме сопротивлений.

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором концы элементов подключены к одной и той же паре узлов. Между узлами образуются разные ветви, и ток распределяется между ними. Напряжение на всех таких ветвях одинаково.

Как это устроено

При последовательном соединении заряд не разветвляется: сколько заряда проходит через первый элемент за единицу времени, столько же проходит через остальные. Поэтому сила тока одинакова: I = I₁ = I₂. Работа источника расходуется на всех элементах, поэтому общее напряжение складывается: U = U₁ + U₂.

Применим закон Ома к каждому элементу: U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂. Подставляя эти выражения в U = U₁ + U₂, получаем U = I(R₁ + R₂), а значит, R = R₁ + R₂. Все сопротивления положительны, поэтому сумма больше каждого слагаемого: последовательное эквивалентное сопротивление больше любого отдельного сопротивления.

При параллельном соединении концы всех ветвей соединены с одними и теми же узлами. Разность потенциалов между узлами одна и та же, поэтому U = U₁ = U₂. В узле общий ток разделяется, а после прохождения ветвей снова складывается: I = I₁ + I₂.

Для каждой ветви по закону Ома I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂. Тогда I = U/R₁ + U/R₂, а после деления на U получаем 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Поскольку к сопротивлению добавляется положительная величина 1/R₂, величина 1/R больше 1/R₁, значит, R меньше R₁; аналогично R меньше R₂.

Смешанную цепь рассчитывают по шагам. Сначала находят участки, которые явно соединены последовательно или параллельно, и заменяют их эквивалентными сопротивлениями. Затем находят общий ток и напряжение упрощённой цепи, а после этого возвращаются к исходным элементам и вычисляют величины в каждой ветви.

Правила расчёта последовательного и параллельного соединений

Сначала определите тип соединения, а затем выберите соответствующий столбец. Для двух параллельных резисторов можно использовать также формулу R = R₁R₂/(R₁ + R₂). При большем числе ветвей удобнее складывать обратные сопротивления.

Разбор задач

1. Последовательное соединение

Условие: R₁ = 4 Ом, R₂ = 6 Ом, U = 20 В. Резисторы соединены последовательно. Нужно найти R, I, U₁ и U₂.

1. Находим общее сопротивление: R = R₁ + R₂ = 4 + 6 = 10 Ом.
2. По закону Ома для всей цепи I = U/R = 20/10 = 2 А.
3. Токи одинаковы, поэтому U₁ = IR₁ = 2 · 4 = 8 В, а U₂ = IR₂ = 2 · 6 = 12 В.

Ответ: R = 10 Ом, I = 2 А, U₁ = 8 В, U₂ = 12 В. Проверка: 8 В + 12 В = 20 В.

2. Параллельное соединение

Условие: R₁ = 6 Ом, R₂ = 3 Ом, U = 12 В. Резисторы соединены параллельно. Требуется найти R, токи в ветвях и общий ток.

1. Находим сопротивление участка: 1/R = 1/6 + 1/3 = 1/2, значит, R = 2 Ом.
2. В каждой ветви напряжение равно 12 В, поэтому I₁ = 12/6 = 2 А, а I₂ = 12/3 = 4 А.
3. Складываем токи: I = I₁ + I₂ = 2 + 4 = 6 А.

Ответ: R = 2 Ом, I₁ = 2 А, I₂ = 4 А, I = 6 А. Ветвь с меньшим сопротивлением пропускает больший ток.

3. Смешанное соединение

Условие: R₁ = 2 Ом соединён последовательно с параллельным участком R₂ = 6 Ом и R₃ = 3 Ом. Источник даёт U = 12 В. Найдём сопротивление, токи и напряжения.

1. Сворачиваем параллельный участок: 1/Rп = 1/6 + 1/3 = 1/2, поэтому Rп = 2 Ом.
2. Общее сопротивление R = R₁ + Rп = 2 + 2 = 4 Ом, общий ток I = 12/4 = 3 А.
3. На последовательном резисторе U₁ = 3 · 2 = 6 В. На параллельном участке остаётся Uп = 12 − 6 = 6 В.
4. Токи ветвей: I₂ = 6/6 = 1 А, I₃ = 6/3 = 2 А. Их сумма 3 А совпадает с общим током.

Ответ: R = 4 Ом, I = 3 А, U₁ = 6 В, U₂ = U₃ = 6 В, I₂ = 1 А, I₃ = 2 А.

Типичные ошибки

Складывать сопротивления при параллельном соединении ошибочно, хотя так делают по аналогии с последовательной цепью. В параллельном случае складываются обратные сопротивления: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Проверьте результат: он должен быть меньше меньшего сопротивления.

Нельзя считать, что в параллельных ветвях ток одинаков. Одинаковым является напряжение, а ток определяется сопротивлением ветви по формуле I = U/R. Проверьте себя сложением токов: общий ток должен быть равен их сумме.

При последовательном соединении одинаков не ток, а не напряжение. Напряжения распределяются пропорционально сопротивлениям, поэтому на большем сопротивлении падение напряжения больше. Сумма напряжений должна равняться общему напряжению.

Нельзя сразу применять одно правило ко всей смешанной цепи. Сначала выделите узлы и простые участки, затем сверните их поэтапно. После расчёта проверьте, что токи в узле и напряжения на участке подчиняются соответствующим правилам.

Связь с другими темами

Для расчёта цепей нужны закон Ома, сила тока, напряжение и электрическое сопротивление. Эти величины связывают характеристики источника и проводников.

Правила соединений следуют из сохранения заряда и энергии: заряд не исчезает в узле, а энергия источника распределяется между элементами. Поэтому складываются токи в узлах и напряжения на последовательных участках.

Для более сложных разветвлённых цепей применяют законы Кирхгофа. Они обобщают правила токов и напряжений, рассмотренные здесь.

Что запомнить

• При последовательном соединении ток во всех элементах одинаков.
• При последовательном соединении общее напряжение равно сумме напряжений на элементах.
• Эквивалентное сопротивление последовательного соединения равно сумме сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• При параллельном соединении общий ток равен сумме токов в ветвях.
• Для параллельного соединения складываются величины, обратные сопротивлениям.
• В смешанной цепи участки рассчитывают последовательно, переходя от простых соединений к сложным.