§ 18. Элементы квантовой физики

Определения и обозначения

Квант электромагнитного излучения, или фотон, — порция энергии излучения, величина которой определяется частотой: E = hν. Здесь E — энергия фотона, h — постоянная Планка, ν — частота света. Это понятие нужно, чтобы описывать передачу света отдельными порциями, а не непрерывным потоком энергии.

Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием падающего электромагнитного излучения. Такие электроны называют фотоэлектронами. Это явление показывает, что свет может передавать энергию частицам вещества и служит основой работы фотоэлементов.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона с поверхности данного вещества. Её обозначают Aвых, и она зависит от материала. Сравнение энергии фотона с работой выхода позволяет определить, возможен ли фотоэффект.

Гипотеза де Бройля — представление о том, что частице с импульсом p соответствует волна с длиной λ = h/p. Чем больше импульс частицы, тем меньше длина этой волны. Формула нужна для описания волновых свойств электронов и других частиц.

Как это устроено

Классическое представление о непрерывном изменении энергии излучения не позволяло правильно объяснить распределение энергии теплового излучения по частотам: расчёт приводил к физически неверному результату. Противоречие исчезло, когда Макс Планк предположил, что излучение поглощается и испускается не любыми порциями, а квантами. Размер порции зависит от частоты, поэтому обмен энергией на микроскопическом уровне нельзя описывать как непрерывный.

Энергия фотона задаётся формулой E = hν, а его импульс — соотношениями p = E/c и p = h/λ, где c — скорость света в вакууме. Частота и длина волны связаны выражением c = λν, поэтому коротковолновому излучению соответствуют более высокая частота и большая энергия фотона. Следовательно, изменение интенсивности не меняет энергию отдельного фотона: для этого нужно изменить частоту.

При фотоэффекте фотон сталкивается с электроном и передаёт ему энергию. Электрону нужно затратить часть этой энергии, чтобы преодолеть притяжение вещества и выйти с поверхности; эта часть равна работе выхода Aвых. Если после выхода энергия остаётся, она становится кинетической энергией электрона, поэтому для наиболее энергичных электронов выполняется уравнение Эйнштейна hν = Aвых + Ek max.

Из уравнения Эйнштейна следует условие фотоэффекта: hν должно быть не меньше Aвых. Наименьшая подходящая частота νкр = Aвых/h называется красной границей, а при частоте ниже неё электрон не выйдет даже при очень ярком свете. При превышении порога максимальная кинетическая энергия растёт с частотой, но не с интенсивностью; интенсивность увеличивает число падающих фотонов и обычно число выбитых электронов.

Волновые свойства не ограничиваются светом, потому что гипотеза де Бройля связывает волну с импульсом любой частицы: λ = h/p. У электрона с определённым импульсом, таким образом, есть длина волны, хотя в других опытах он проявляет свойства частицы. Это сочетание волнового и корпускулярного описаний называют корпускулярно-волновым дуализмом.

Основные понятия и соотношения квантовой физики

Сначала выбери в таблице соотношение, которое связывает известные величины с искомой, и проверь, подходят ли единицы. Для фотоэффекта отдельно проверяй пороговое условие, а затем вычисляй энергию движения электрона. Если работа выхода дана в электрон-вольтах, энергию фотона тоже удобно выразить в электрон-вольтах.

Разбор задач

Энергия фотона видимого света

Условие. Найти энергию фотона света с длиной волны 500 нм. Использовать h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с и c = 3,00·10⁸ м/с. Сначала нужно привести длину волны к метрам, поскольку постоянные заданы в СИ.

1. Записываем связь длины волны и частоты: ν = c/λ. Переводим 500 нм в метры: λ = 500·10⁻⁹ м = 5,00·10⁻⁷ м.
2. Вычисляем энергию напрямую по формуле E = hc/λ. Подстановка даёт E = (6,63·10⁻³⁴·3,00·10⁸)/(5,00·10⁻⁷) ≈ 3,98·10⁻¹⁹ Дж.
3. Проверяем порядок величины: видимый фотон должен иметь значительно меньшую энергию, чем энергия макроскопического тела, поскольку это отдельная квантовая порция.

Ответ: E ≈ 3,98·10⁻¹⁹ Дж, или примерно 2,49 эВ. Такой способ удобен тем, что частоту можно не вычислять отдельным промежуточным действием.

Максимальная энергия и скорость фотоэлектрона

Условие. Металл с работой выхода 2,0 эВ освещают светом частоты 1,0·10¹⁵ Гц. Найти максимальную кинетическую энергию и скорость фотоэлектрона, считая его движение нерелятивистским. Возьмём h = 4,14·10⁻¹⁵ эВ·с и массу электрона me = 9,11·10⁻³¹ кг.

1. Находим энергию фотона: hν = 4,14 эВ. Она превышает работу выхода, поэтому фотоэффект возможен.
2. Вычитаем затраты на выход: Ek max = hν − Aвых = 4,14 − 2,0 = 2,14 эВ. Для расчёта скорости переводим энергию: Ek max ≈ 2,14·1,602·10⁻¹⁹ Дж = 3,43·10⁻¹⁹ Дж.
3. Используем Ek max = mev²/2, откуда v = √(2Ek max/me) ≈ 8,7·10⁵ м/с. Скорость намного меньше скорости света, поэтому принятое приближение допустимо.

Ответ: максимальная кинетическая энергия равна 2,14 эВ, скорость — примерно 8,7·10⁵ м/с.

Порог фотоэффекта и задерживающее напряжение

Условие. Свет частоты 8,0·10¹⁴ Гц падает на два металла: работа выхода первого равна 2,0 эВ, второго — 3,5 эВ. Определить, где возникает фотоэффект, и найти задерживающее напряжение для первого металла. Задерживающее напряжение останавливает самые быстрые электроны, причём eUзад = Ek max.

1. Энергия фотона равна hν = 4,14·10⁻¹⁵·8,0·10¹⁴ ≈ 3,31 эВ. Для первого металла она больше 2,0 эВ, а для второго меньше 3,5 эВ.
2. Следовательно, фотоэффект возможен только на первом металле. Для него Ek max = 3,31 − 2,0 = 1,31 эВ.
3. Поскольку энергия 1 эВ соответствует работе электрического поля при напряжении 1 В на элементарном заряде, Uзад ≈ 1,31 В. Для проверки порога можно также сравнить частоту с νкр = Aвых/h.

Ответ: фотоэффект наблюдается только у первого металла; задерживающее напряжение составляет примерно 1,31 В.

Типичные ошибки

Смешивают частоту и интенсивность. Частота определяет энергию одного фотона, а интенсивность характеризует поступление энергии и число фотонов. Путаница возникает потому, что в быту яркий свет кажется «энергичнее». Проверь себя: при неизменной частоте увеличение интенсивности не меняет значение E = hν.

Считают, что фотоэффект вызывает любой свет. Ошибка — не проверить, превышает ли частота красную границу. Обычно это происходит, когда внимание сосредоточено на яркости, а не на энергии одного фотона. Сравни hν с Aвых: если первое меньше, электрон не покинет поверхность.

Приравнивают работу выхода кинетической энергии электрона. Работа выхода — только часть энергии фотона, затраченная на удаление электрона; оставшаяся часть становится его кинетической энергией. Путаница возникает из-за того, что обе величины относятся к одному электрону. Проверка проста: в уравнении hν = Aвых + Ek max энергия фотона должна покрывать обе части.

Ошибаются при переводе единиц. Например, подставляют нанометры вместо метров или смешивают джоули и электрон-вольты в одной формуле. Такие ошибки часто дают результат, отличающийся на много порядков. Перед вычислением выпиши все величины в согласованных единицах и оцени, правдоподобен ли порядок ответа.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны связь скорости, частоты и длины волны, понятия энергии и импульса, а также работа и закон сохранения энергии. Квантовые переходы в атомах объясняют поглощение и испускание фотонов и появление спектров. Далее эти идеи помогают понять работу фотоэлементов и лазеров, электронографию и основы современных квантовых технологий. Так классические понятия движения и энергии получают применение в описании микромира.

Что запомнить

• Энергия фотона определяется частотой: E = hν.
• Импульс фотона связан с длиной волны: p = h/λ.
• Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода.
• Уравнение фотоэффекта: hν = Aвых + Ek max.
• Частота определяет энергию фотоэлектронов, а интенсивность влияет на их число.
• Красная граница — минимальная частота, при которой ещё возможен фотоэффект.
• Волновые свойства присущи не только свету, но и движущимся частицам.