Раздел 1. Электромагнитные колебания и волны

Определения и обозначения

Электромагнитные колебания — периодические изменения электрического заряда q, силы тока I и напряжения U в цепи. Заряд измеряют в кулонах (Кл), ток — в амперах (А), напряжение — в вольтах (В); период обозначают T и измеряют в секундах, частоту ν — в герцах (Гц). Эти величины показывают, как меняется электрическое состояние цепи во времени.

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, содержащая конденсатор и катушку индуктивности. Ёмкость конденсатора обозначают C и измеряют в фарадах (Ф), индуктивность катушки — L и измеряют в генри (Гн). В контуре энергия может переходить из электрической формы в магнитную, поэтому он способен совершать собственные колебания.

Электромагнитная волна — распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Длину волны обозначают λ и измеряют в метрах, частоту — ν в герцах, скорость распространения — v в метрах в секунду. Эти характеристики позволяют описать, как быстро повторяются изменения поля и какое расстояние волна проходит за один период.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение колеблющейся величины от равновесного значения. Понятие резонанса нужно, чтобы понимать, почему система может особенно сильно откликаться на воздействие определённой частоты.

Как это устроено

Заряженный конденсатор создаёт электрическое поле и хранит энергию в этом поле. Когда контур замыкают, конденсатор начинает разряжаться, и по катушке течёт ток. Ток создаёт магнитное поле, поэтому энергия электрического поля постепенно переходит в энергию магнитного поля катушки. Такой обмен не происходит мгновенно: катушка препятствует быстрому изменению тока.

Когда конденсатор разрядился, ток не исчезает сразу: магнитное поле катушки поддерживает его и продолжает перемещать заряды. Из-за этого конденсатор заряжается с обратной полярностью, а затем процесс идёт в противоположную сторону. В идеальном контуре сопротивления нет, поэтому энергия не рассеивается на нагрев и полный запас энергии остаётся постоянным. Этим непрерывным обменом объясняются периодические изменения заряда и тока.

Если вначале конденсатор заряжен максимально, то заряд можно описать законом q = Qₘₐₓ cos(2πt/T), а ток — законом I = Iₘₐₓ sin(2πt/T) при выбранном направлении тока. Синус и косинус отличаются сдвигом фазы π/2, то есть четвертью периода. Поэтому максимум заряда приходится на момент, когда ток равен нулю, а максимальный ток — на момент нулевого заряда. В реальной цепи сопротивление приводит к потерям энергии, и свободные колебания затухают.

Собственная частота зависит от того, как быстро конденсатор может накапливать заряд, и от того, насколько катушка препятствует изменению тока. Чем больше ёмкость или индуктивность, тем медленнее идёт обмен энергией и тем меньше частота. Для идеального контура период находят по формуле Томсона T = 2π√(LC), а частоту — по формуле ν = 1/(2π√(LC)). Перед расчётом L и C выражают в единицах СИ: генри и фарадах.

Переменное электрическое поле связано с переменным магнитным полем: изменение одного поля вызывает изменение другого. Благодаря этой взаимосвязи возмущение может распространяться от источника через пространство, а не оставаться только в контуре. Распространяющееся возмущение и есть электромагнитная волна; для неё не обязательна материальная среда. Поскольку поля обладают энергией, распространяющаяся волна переносит энергию от источника к другим телам.

За время одного периода волна проходит расстояние, равное длине волны λ. Если за секунду совершается ν колебаний, то связь скорости, частоты и длины волны записывается как λ = v/ν. Следовательно, при постоянной скорости большая частота означает меньшую длину волны. В вакууме и приблизительно в воздухе скорость электромагнитной волны близка к скорости света c ≈ 3 · 10⁸ м/с.

При вынужденных колебаниях на систему действует периодическая внешняя сила или сигнал. Если его частота близка к собственной частоте системы, каждый следующий импульс может усиливать колебание, и амплитуда возрастает. Особенно резкий отклик при совпадении частот называют резонансом. В радиоприёмнике подбор параметров контура позволяет выделить сигнал нужной частоты.

Сравнение электромагнитных колебаний и электромагнитных волн

Сравнивайте прежде всего, где происходит процесс и что именно меняется: колебания характеризуют изменения в цепи, а волна — распространение полей. Частота встречается в описании обоих явлений, но для волны к ней добавляются скорость и длина волны. Последняя строка помогает различить обмен энергией внутри контура и её перенос в пространстве.

Разбор задач

Задача 1. В контуре ёмкость конденсатора C = 4,0 мкФ, индуктивность катушки L = 0,25 Гн. Найдите собственную частоту. Идея решения — использовать формулу Томсона для частоты и сначала перевести микрофарады в фарады. Тогда единицы величин будут согласованы с системой СИ.

1. Переведём ёмкость: 4,0 мкФ = 4,0 · 10⁻⁶ Ф.
2. Запишем ν = 1/(2π√(LC)) и подставим данные: LC = 0,25 · 4,0 · 10⁻⁶ = 1,0 · 10⁻⁶.
3. Получаем √(LC) = 10⁻³ с и ν ≈ 1/(2π · 10⁻³ с) ≈ 159 Гц.

Ответ: собственная частота контура примерно 160 Гц. Проверка размерности полезна: под корнем произведение генри на фарад даёт секунды в квадрате, а в знаменателе частоты оказываются секунды. Поэтому итоговая единица — с⁻¹, то есть герц.

Задача 2. По графику заряда видно, что за 0,020 с совершается один полный цикл, а максимальное значение заряда равно 6 мкКл. Найдите период, максимальный заряд и моменты максимума силы тока в пределах первых двух периодов. Ток максимален, когда заряд проходит через ноль; по синусоидальному графику это происходит через четверть периода после максимума заряда, а затем повторяется через половину периода.

1. Считываем период и амплитуду: T = 0,020 с, Qₘₐₓ = 6 мкКл.
2. Если при t = 0 заряд максимален, то нулевые значения заряда наступают при t = T/4, 3T/4, 5T/4 и 7T/4.
3. Переводим в секунды: моменты равны 0,005; 0,015; 0,025 и 0,035 с.

Ответ: T = 0,020 с, Qₘₐₓ = 6 мкКл; максимумы модуля тока наступают в перечисленные моменты. Если направление тока учитывать со знаком, соседние максимумы будут противоположными по знаку. При чтении другого графика сначала отметьте, в какой точке цикла начинается отсчёт времени.

Задача 3. Передатчик излучает волну частотой 100 МГц. Найдите её длину и сравните с длиной волны сигнала частотой 50 МГц в воздухе. Скорость примем равной c = 3 · 10⁸ м/с. Обе частоты относятся к одному и тому же пространству, поэтому скорость одинакова и можно сравнить длины, используя λ = v/ν.

1. Переведём частоты: 100 МГц = 1,0 · 10⁸ Гц; 50 МГц = 5,0 · 10⁷ Гц.
2. Для первого сигнала λ₁ = 3 · 10⁸/(1,0 · 10⁸) = 3 м.
3. Для второго сигнала λ₂ = 3 · 10⁸/(5,0 · 10⁷) = 6 м.

Ответ: длина волны передатчика равна 3 м; у сигнала частотой 50 МГц длина волны 6 м, то есть вдвое больше. Это согласуется с обратной зависимостью длины волны от частоты при неизменной скорости. Проверить результат можно по единицам: (м/с)/(с⁻¹) = м.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что заряд и ток достигают максимума одновременно. Их колебания сдвинуты по фазе на четверть периода: максимальный заряд соответствует нулевому току, а максимальный ток — нулевому заряду. Путаница возникает, если воспринимать оба графика как одинаковые синусоиды. Проверьте себя по моментам полной зарядки и разрядки конденсатора.

Ошибка: подставлять ёмкость вместо индуктивности или наоборот в формулу Томсона. Ёмкость относится к конденсатору и измеряется в фарадах, индуктивность — к катушке и измеряется в генри. В обозначениях можно запутаться, если помнить только буквы, а не физические элементы. Перед вычислением подпишите, какое значение относится к C, а какое — к L.

Ошибка: путать частоту и период. Частота показывает число колебаний за секунду и измеряется в герцах, а период — время одного колебания и измеряется в секундах; они связаны формулой ν = 1/T. Путаница возникает из-за того, что обе величины описывают повторяемость процесса. Проверьте, что при увеличении периода частота уменьшается, а единицы результата соответствуют искомой величине.

Ошибка: считать, что для электромагнитной волны обязательно нужна материальная среда. Это представление переносят с механических волн, которым нужна среда для передачи колебаний частиц. Электромагнитное возмущение распространяется и в вакууме благодаря взаимосвязанным изменениям электрического и магнитного полей. Проверка: свет от далёких звёзд доходит до Земли через пространство, близкое к вакууму.

Связь с другими темами

Для понимания темы пригодятся знания о механических колебаниях: амплитуде, периоде, частоте, фазе и энергии. Аналогия помогает представить периодический обмен энергией, но электрический заряд и ток не следует смешивать с перемещением механического груза.

Нужно также вспомнить электрическое поле, напряжение, ёмкость конденсатора, силу тока и магнитное поле катушки. Эти понятия объясняют, где запасается энергия контура и почему она меняет форму.

Идеи темы используются при изучении радиосвязи и передачи сигналов: подбор частоты позволяет передавать и принимать нужные сообщения. Связь частоты с длиной волны помогает ориентироваться в спектре электромагнитных волн.

Что запомнить

• В колебательном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Идеальный контур сохраняет полную энергию колебаний.
• Собственная частота контура зависит от ёмкости и индуктивности.
• Частота и период связаны соотношением ν = 1/T.
• Электромагнитная волна распространяется благодаря взаимосвязанным изменениям электрического и магнитного полей.
• Длина волны, частота и скорость распространения связаны формулой λ = v/ν.