§ 19. Электрическое сопротивление

Определения и обозначения

Электрическое сопротивление R — физическая величина, которая характеризует, насколько проводник препятствует электрическому току. Для участка цепи его определяют по формуле R = U/I, где U — напряжение, а I — сила тока. Единица сопротивления в СИ — ом (Ом): 1 Ом = 1 В/А. Это отношение помогает сравнивать проводники и рассчитывать ток при известном напряжении.

Закон Ома для участка цепи описывает зависимость силы тока от напряжения и сопротивления: I = U/R. При неизменном сопротивлении большему напряжению соответствует больший ток, а при большем сопротивлении ток меньше. Закон применим к проводнику, если его температура остаётся постоянной. Он позволяет находить любую из трёх величин, когда известны две другие.

Удельное электрическое сопротивление ρ — характеристика материала, показывающая, насколько сильно сопротивляется токe материал проводника. Чем больше ρ, тем больше сопротивление проводника одинаковых размеров из этого материала. Единица СИ — ом-метр (Ом·м). Эта величина нужна, чтобы учитывать свойства материала отдельно от длины и толщины провода.

Вольт-амперная характеристика — график зависимости силы тока от напряжения. Для проводника с постоянным сопротивлением это прямая, проходящая через начало координат; её наклон I(U) равен 1/R. Значит, более крутая прямая соответствует меньшему сопротивлению. По графику можно сравнить проводники и увидеть, остаётся ли их зависимость линейной.

Как это устроено

В металле есть свободные электроны, которые могут перемещаться между частицами кристаллической решётки. Без электрического поля они движутся беспорядочно, а поле задаёт их направленное движение, создавая ток. По пути электроны сталкиваются с колеблющимися частицами решётки и другими дефектами, из-за чего их направленное движение затрудняется. Это микроскопическая причина электрического сопротивления: энергия упорядоченного движения передаётся веществу.

Если температура проводника постоянна, его свойства при изменении напряжения практически не меняются. При большем напряжении электрическое поле сильнее направляет движение зарядов, и сила тока возрастает пропорционально. Поэтому отношение U к I остаётся одним и тем же и принимается за сопротивление R. Если нагреть проводник или изменить его состояние, постоянство этого отношения уже не гарантировано.

Длина и площадь сечения влияют на число препятствий и на то, сколько зарядов может проходить через провод. В длинном проводнике электроны проходят больший путь и чаще сталкиваются с частицами решётки, поэтому сопротивление возрастает. В толстом проводнике площадь сечения больше, и для движения заряда доступно больше пространства. Поэтому при прочих равных увеличение площади сечения уменьшает сопротивление.

Чтобы связать сопротивление с материалом и размерами, используют формулу R = ρl/S. Здесь удельное сопротивление ρ задаёт вклад материала, длина l увеличивает сопротивление, а площадь поперечного сечения S уменьшает его. Формула применима к однородному проводнику, если материал и его температура по длине одинаковы. При расчёте важно подставлять длину в метрах, площадь — в квадратных метрах, а ρ — в Ом·м.

При нагревании металлического проводника частицы решётки колеблются интенсивнее, поэтому электроны чаще сталкиваются с ними и сопротивление обычно увеличивается. Если напряжение повышать, провод может нагреться, и его сопротивление начнёт меняться вместе с током. Тогда зависимость I от U уже не будет прямой линией. Нелинейность также возникает у элементов, свойства которых существенно зависят от температуры или напряжённости поля.

Величины, связанные с электрическим сопротивлением

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую формулу. Перед подстановкой проверьте единицы: особенно часто забывают перевести площадь сечения в квадратные метры. Столбец «От чего зависит» помогает понять, какие параметры нужно знать для расчёта.

Разбор задач

Задача 1

На участке цепи напряжение равно 12 В, сила тока — 0,5 А. Требуется найти сопротивление участка. Из условия известны U и I, поэтому подходит определение R = U/I. Деление напряжения на силу тока даст сопротивление в омах.

1. Записываем данные: U = 12 В, I = 0,5 А.
2. Выбираем формулу сопротивления: R = U/I.
3. Подставляем числа: R = 12/0,5 = 24 Ом.

Ответ: сопротивление участка равно 24 Ом. Проверка единицы: В/А — это Ом, значит результат записан правильно. При таком сопротивлении ток 0,5 А действительно соответствует напряжению 12 В.

Задача 2

Найдём сопротивление нихромовой проволоки длиной 2 м и площадью сечения 0,5 мм² при ρ = 1,1·10⁻⁶ Ом·м. Размеры провода даны, поэтому используем R = ρl/S. Перед вычислениями обязательно переведём площадь из мм² в м², иначе численный результат будет неверным.

1. Переводим площадь: 0,5 мм² = 0,5·10⁻⁶ м² = 5·10⁻⁷ м².
2. Подставляем величины в формулу: R = (1,1·10⁻⁶ Ом·м · 2 м)/(5·10⁻⁷ м²).
3. Вычисляем: R = 4,4 Ом; метры сокращаются, остаётся единица Ом.

Ответ: сопротивление проволоки равно 4,4 Ом. Смысл результата можно проверить по зависимости: удвоение длины повышает R, а малая площадь сечения тоже делает сопротивление заметнее. Все исходные величины использованы в единицах СИ.

Задача 3

Первый проводник имеет длину 2 м и площадь сечения 1 мм², второй — длину 3 м и площадь сечения 0,5 мм²; материал у них одинаковый. Сравним сопротивления по R = ρl/S: одинаковая ρ при сравнении сокращается. При одинаковом напряжении затем используем I = U/R, чтобы сопоставить токи.

1. Для первого проводника отношение l/S равно 2/1 = 2.
2. Для второго оно равно 3/0,5 = 6, поэтому R₂/R₁ = 6/2 = 3.
3. Второе сопротивление втрое больше: R₂ = 3R₁. При одинаковом U ток обратно пропорционален сопротивлению, значит I₁ = 3I₂.

Ответ: сопротивление второго проводника в 3 раза больше, а сила тока в первом в 3 раза больше. Значение удельного сопротивления не требуется, поскольку для сравнения оно одинаково у обоих проводников. Если вычислять сами сопротивления или токи, понадобятся численное значение ρ и напряжение.

Типичные ошибки

Иногда записывают R = I/U, путая определение сопротивления с формулой закона Ома для тока. Проверка проста: из I = U/R выразите R умножением на R и делением на I — получится R = U/I. Ещё можно проверить единицы: В/А даёт ом, а А/В не является единицей сопротивления.

Сопротивление R и удельное сопротивление ρ — разные величины, хотя обе связаны с препятствием току. R зависит от размеров конкретного проводника, а ρ характеризует материал при определённой температуре. Путаница возникает из-за похожих названий и формулы R = ρl/S. Перед расчётом проверьте, какие именно данные указаны: размеры провода или свойство материала.

Если подставить площадь в мм² вместо м², результат по формуле R = ρl/S окажется неверным в миллион раз. Причина в том, что 1 мм² = 10⁻⁶ м²: квадратный миллиметр нельзя переводить как обычный миллиметр. Переведите площадь отдельно до подстановки, а затем проверьте, что единицы Ом·м, м и м² сокращаются до ома.

Ошибочно считать, что увеличение длины уменьшает сопротивление, а увеличение сечения — повышает его. В формуле R = ρl/S длина стоит в числителе, а площадь — в знаменателе: длинный провод имеет большее сопротивление, толстый — меньшее. Проверяйте направление зависимости мысленным сравнением: длинный путь затрудняет движение, а широкое сечение облегчает его.

Связь с другими темами

Для работы с сопротивлением нужны понятия силы тока и напряжения, их единицы измерения и закон Ома. Эти знания позволяют рассчитывать токи и напряжения в участках цепи. Далее формулы применяют при изучении последовательного и параллельного соединения проводников, где важно учитывать сопротивление каждого элемента.

Сопротивление также понадобится при изучении электрической мощности и работы тока: через него связывают характеристики цепи с энергией и нагреванием. Реостаты используют для изменения сопротивления и регулирования тока, а температурные датчики — для обнаружения изменений температуры по изменению сопротивления. Так свойства проводника становятся основой и расчётов, и практических устройств.

Что запомнить

• Сопротивление характеризует противодействие проводника электрическому току.
• Для участка цепи R = U/I, а сила тока I = U/R.
• Единица электрического сопротивления — ом.
• Сопротивление однородного проводника рассчитывают по формуле R = ρl/S.
• Чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление.
• Чем больше площадь поперечного сечения проводника, тем меньше его сопротивление.
• Удельное сопротивление зависит главным образом от материала и температуры проводника.