§ 20. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

ЭДС источника — физическая величина, равная работе сторонних сил по переносу единичного заряда внутри источника; обозначается ε. Сторонними называют силы, которые не являются электрическими и разделяют заряды внутри источника. ЭДС показывает, какую энергию источник сообщает каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление — сопротивление частей источника внутри него; обозначается r. Оно связано с тем, что движению зарядов мешают вещества и элементы самого источника. Эта величина нужна, чтобы учитывать потери энергии внутри источника при расчёте тока и напряжения.

Полная цепь — замкнутая электрическая цепь, включающая внешний участок и источник тока. Внешний участок может содержать резисторы и другие потребители, а источник входит в цепь вместе со своим внутренним сопротивлением. Такое понятие позволяет рассматривать путь тока целиком, а не только нагрузку.

Закон Ома для полной цепи — зависимость силы тока в замкнутой цепи от ЭДС источника и полного сопротивления цепи. Он записывается как I = ε/(R + r), где R — сопротивление внешнего участка. Формула помогает найти ток с учётом того, что сопротивление есть и внутри источника.

Как это устроено

Внутри источника сторонние силы перемещают заряды так, чтобы на его полюсах поддерживались разные электрические потенциалы. Без такого разделения зарядов потенциалы выровнялись бы, и устойчивый ток во внешней цепи не поддерживался бы. Работа сторонних сил, рассчитанная на единичный заряд, и определяет ЭДС источника. Поэтому ЭДС описывает действие источника, а не просто падение напряжения на отдельном резисторе.

Когда цепь замкнута, заряды движутся по всему контуру: через внешний участок и через источник. Сопротивление встречается на обоих участках, поэтому полное сопротивление складывается из R и r. Если оставить в расчёте только внешнее сопротивление, часть препятствий движению зарядов окажется неучтённой. Из-за этого найденный ток не будет соответствовать реальной цепи.

Закон сохранения энергии связывает работу источника с энергией, расходуемой в цепи. На единичный заряд источник совершает работу ε, а при прохождении полного контура энергия расходуется на внешнем и внутреннем сопротивлениях. Для всей цепи это даёт ε = I(R + r). Разделив обе части на R + r, получаем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r).

На внешнем участке напряжение равно U = IR по закону Ома для участка цепи. Из соотношения для полной цепи следует, что ε = IR + Ir, поэтому U = ε − Ir. Член Ir показывает падение напряжения внутри источника: не вся энергия, полученная зарядом от сторонних сил, передаётся внешнему участку. При большем токе это внутреннее падение возрастает.

Если внешнее сопротивление становится очень малым, например при соединении полюсов почти без нагрузки, возникает короткое замыкание. В формуле I = ε/(R + r) тогда R близко к нулю, и ток приближается к ε/r. Он не становится бесконечным, поскольку его ограничивает внутреннее сопротивление источника. На практике такой ток может вызвать сильный нагрев, поэтому короткое замыкание опасно.

Величины и соотношения в полной цепи

Сначала определите, какая величина дана или требуется найти, а затем выберите строку с подходящим соотношением. Для замкнутой цепи используйте полное сопротивление R + r, а напряжение на нагрузке находите через U = IR. При разомкнутой цепи и коротком замыкании применяются отдельные условия из последних строк таблицы.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Требуется найти силу тока в цепи. Здесь внешний участок — один резистор, поэтому его сопротивление R = 5 Ом, а полное сопротивление включает также r.

1. Запишем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r).
2. Подставим значения: I = 12/(5 + 1) = 12/6 = 2 А.

Ответ: сила тока равна 2 А. Проверка показывает, что при ненулевом внутреннем сопротивлении ток меньше, чем ε/R, то есть 12/5 А.

Задача 2. Источник с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом создаёт ток 2 А. Найдём сопротивление внешней цепи и напряжение на ней. Сначала из закона для полной цепи выразим неизвестное R, а после проверим результат по формуле напряжения на внешнем участке.

1. Из ε = I(R + r) получаем R = ε/I − r.
2. Подставим значения: R = 9/2 − 0,5 = 4 Ом.
3. Найдём напряжение: U = IR = 2 · 4 = 8 В.

Ответ: сопротивление внешней цепи равно 4 Ом, напряжение на ней — 8 В. Проверка: внутреннее падение напряжения Ir = 1 В, а 8 В + 1 В дают ЭДС 9 В.

Задача 3. При подключении резистора 4 Ом напряжение на его концах равно 8 В. Нужно определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника, если ток короткого замыкания равен 6 А. Данных достаточно: сначала по напряжению на резисторе найдём рабочий ток, затем воспользуемся двумя соотношениями для источника.

1. Ток через резистор: I = U/R = 8/4 = 2 А.
2. Из ε = U + Ir и Iкз = ε/r следует ε = Iкзr. Подставим это в первое равенство: 6r = 8 + 2r.
3. Получаем 4r = 8, значит, r = 2 Ом. Тогда ε = Iкзr = 6 · 2 = 12 В.

Ответ: ЭДС источника равна 12 В, внутреннее сопротивление — 2 Ом. Проверка: при рабочем токе внутреннее падение равно 2 · 2 = 4 В, и вместе с напряжением 8 В оно даёт ЭДС 12 В.

Типичные ошибки

Первая ошибка — учитывать в знаменателе только внешнее сопротивление R и забывать r. Так бывает, если применять закон Ома лишь к резистору, хотя задача относится ко всей цепи. Проверьте, замкнута ли цепь через источник: если да, используйте I = ε/(R + r).

Вторая ошибка — считать напряжение на внешнем участке всегда равным ЭДС. При этом не учитывают падение напряжения внутри источника, равное Ir. Чтобы проверить расчёт, используйте равенство ε = U + Ir; при ненулевом токе и r напряжение U меньше ε.

Третья ошибка — путать ЭДС и напряжение на зажимах. ЭДС связана с работой сторонних сил внутри источника, а напряжение на зажимах зависит от режима цепи. Для проверки вспомните: при разомкнутой цепи ток равен нулю и U = ε, а при замкнутой U = ε − Ir.

Четвёртая ошибка — при коротком замыкании положить R = 0 и сделать вывод, что ток бесконечен. Такой вывод получается, если забыть внутреннее сопротивление источника. Подставьте R = 0 в формулу полной цепи: получится Iкз = ε/r, то есть ток ограничен величиной r.

Связь с другими темами

Для изучения полной цепи нужны закон Ома для участка цепи и понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Закон сохранения энергии объясняет, почему работа источника расходуется и на внешнем участке, и внутри самого источника. Применяя закон Ома для полной цепи, можно рассчитывать батареи и другие источники тока с учётом внутренних потерь. Это помогает точнее описывать реальные электрические цепи.

Что запомнить

• Полная цепь включает внешний участок и источник с внутренним сопротивлением.
• Полное сопротивление цепи равно R + r.
• Сила тока в полной цепи: I = ε/(R + r).
• Напряжение на внешнем участке: U = IR = ε − Ir.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• Ток короткого замыкания: Iкз = ε/r.

Как это устроено

На графике показано, как напряжение на внешнем участке зависит от силы тока для источника с ЭДС 6 В и внутренним сопротивлением 2 Ом. Формула U = 6 − 2I задаёт прямую: с ростом тока напряжение уменьшается. При I = 0 напряжение равно ЭДС, а при I = 3 А оно становится нулевым, что соответствует короткому замыканию в этой модели.