§ 59. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

ЭДС источника — энергетическая характеристика, равная работе сторонних сил по переносу единичного положительного заряда. Её обозначают ε и измеряют в вольтах. ЭДС показывает, сколько энергии источник может сообщить каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление движению зарядов внутри батареи, аккумулятора или другого источника. Оно обозначается r и измеряется в омах. Эта величина объясняет, почему реальный источник не может поддерживать одинаковое напряжение при любом токе.

Внешнее сопротивление цепи — сопротивление всех элементов, подключённых к источнику вне его корпуса. Его обозначают R и измеряют в омах. По этому сопротивлению определяют нагрузку, то есть устройства, которым источник отдаёт энергию.

Закон Ома для полной цепи утверждает: сила тока в замкнутой цепи равна отношению ЭДС к сумме внешнего и внутреннего сопротивлений: I = ε/(R + r). Формула позволяет найти ток с учётом неидеальности источника. Если r мало по сравнению с R, источник приближается к идеальному.

Как это устроено

Внутри источника действуют сторонние силы неэлектрического происхождения. Они разделяют положительные и отрицательные заряды и поддерживают разность потенциалов между зажимами. После замыкания цепи электрическое поле приводит заряды в направленное движение во внешнем проводнике, а сторонние силы возвращают их внутри источника к исходному разделению.

Сопротивление в формуле складывается, потому что один и тот же ток последовательно проходит два участка. Сначала заряд движется по внешней цепи с сопротивлением R, затем внутри источника встречает сопротивление r. Для последовательного соединения общее сопротивление равно сумме, поэтому появляется R + r.

Получить закон можно из баланса энергии. При перемещении заряда q сторонние силы совершают работу εq, а электрическое поле расходует её на внешнем участке и внутри источника. Эти работы равны Uq и Irq, поэтому εq = Uq + Irq; после деления на q получаем ε = U + Ir, а с учётом U = IR — I = ε/(R + r).

Напряжение на зажимах при наличии тока меньше ЭДС, потому что часть энергии выделяется внутри источника. На внутреннем сопротивлении теряется напряжение Ir, поэтому U = ε − Ir. При разомкнутой цепи ток равен нулю, внутренней потери нет и U совпадает с ε.

Если увеличить внешнее сопротивление R, сумма R + r возрастёт, а ток уменьшится. При коротком замыкании внешнее сопротивление почти исчезает, и ток становится максимальным: Iкз = ε/r. Такой режим опасен, поскольку большая энергия выделяется внутри источника и может вызвать нагрев.

Величины и соотношения в полной электрической цепи

Таблицу удобно использовать как краткую схему решения. Сначала определите, какая величина известна и какой участок цепи рассматривается, затем выберите связь с нужными единицами. Для полной цепи обязательно учитывайте r, а для внешней нагрузки используйте U = IR.

Разбор задач

Задача 1

Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 1 Ом, а резистор вне источника — 5 Ом. Требуется найти ток и напряжение на резисторе. Внешний резистор и внутреннее сопротивление соединены последовательно.

1. Найдём полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
2. По закону Ома для полной цепи вычислим ток: I = 12 В/6 Ом = 2 А.
3. Напряжение на резисторе равно U = IR = 2 А · 5 Ом = 10 В.

Ответ: I = 2 А, U = 10 В. Оставшиеся 2 В приходятся на внутреннее сопротивление источника.

Задача 2

К источнику подключили резистор 8 Ом, ток в цепи равен 1 А, а напряжение на зажимах — 8 В. Нужно найти ЭДС и внутреннее сопротивление. Напряжение на резисторе уже совпадает с напряжением внешнего участка.

1. Проверим внешнее напряжение: U = IR = 1 А · 8 Ом = 8 В, что соответствует условию.
2. Запишем связь ЭДС с напряжениями: ε = U + Ir.
3. Для однозначного численного ответа нужна ЭДС или ещё одно независимое измерение. Из приведённых данных следует только ε = 8 В + r, поэтому r и ε отдельно определить нельзя.

Ответ: данных недостаточно для единственного значения ε и r. Можно записать связь ε = 8 В + 1 А · r; требуется дополнительное измерение или известная ЭДС.

Задача 3

Источник с ε = 24 В и r = 2 Ом питает резистор 4 Ом, последовательно соединённый с параллельной группой 6 Ом и 3 Ом. Нужно найти ток источника, напряжение внешней цепи и токи в ветвях. Сначала упростим внешнюю схему.

1. Эквивалент параллельных резисторов: 1/Rп = 1/6 + 1/3 = 1/2, значит Rп = 2 Ом.
2. Внешнее сопротивление: R = 4 Ом + 2 Ом = 6 Ом.
3. Ток источника: I = 24 В/(6 Ом + 2 Ом) = 3 А.
4. Напряжение внешней цепи: U = IR = 3 А · 6 Ом = 18 В.
5. На резисторе 4 Ом падает 12 В, поэтому на параллельной группе остаётся 6 В.
6. Токи ветвей: I₆ = 6 В/6 Ом = 1 А, I₃ = 6 В/3 Ом = 2 А. Их сумма 3 А совпадает с током источника.

Ответ: I = 3 А, U = 18 В, токи в ветвях равны 1 А и 2 А.

Типичные ошибки

Только R в знаменателе. Запись I = ε/R игнорирует сопротивление самого источника. Так делают, представляя батарею идеальной; проверьте, дано ли r и можно ли им пренебречь.

U всегда равно ε. Это неверно при токе: часть напряжения теряется внутри источника. Проверьте себя равенством U = ε − Ir.

ЭДС и напряжение считают одинаковыми. ЭДС характеризует работу сторонних сил во всём источнике, а напряжение под нагрузкой относится к внешним зажимам. Если I не равен нулю и r не равно нулю, величины различаются.

Ток короткого замыкания считают бесконечным или равным ε. При коротком замыкании исчезает внешнее сопротивление, но остаётся r. Используйте Iкз = ε/r и проверьте единицы: вольт, делённый на ом, даёт ампер.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Ома для участка цепи, правила последовательного и параллельного соединения, а также формулы работы и мощности тока. Закон полной цепи применяют к реальным батареям, аккумуляторам и генераторам. Он также связывает расчёт тока с мощностью источника, КПД цепи и анализом короткого замыкания.

Что запомнить

• Для полной замкнутой цепи I = ε/(R + r).
• Внутреннее и внешнее сопротивления при последовательном прохождении тока складываются.
• Напряжение на внешней цепи U = IR = ε − Ir.
• Чем больше внешнее сопротивление, тем меньше сила тока.
• При разомкнутой цепи I = 0, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• При коротком замыкании Iкз = ε/r.
• Реальный источник отличается от идеального наличием внутреннего сопротивления.