2. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) источника — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда; её обозначают ε и измеряют в вольтах (В). Сторонними называют силы, которые разделяют заряды внутри источника и поддерживают ток. ЭДС помогает описать, сколько энергии источник передаёт каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление его внутренних частей, обозначаемое r и измеряемое в омах (Ом). Оно есть у реальных источников и влияет на ток и напряжение при подключении нагрузки. Его не следует путать с сопротивлением R внешней цепи — например, подключённого резистора.

Закон Ома для полной цепи связывает силу тока в замкнутой цепи с ЭДС и сопротивлением всей цепи: I = ε/(R + r). Здесь I — сила тока в амперах, R — внешнее сопротивление, r — внутреннее. Формула нужна, когда требуется учесть не только нагрузку, но и сам источник.

Напряжение на зажимах источника — напряжение между его полюсами, то есть напряжение на внешней цепи; при разряде U = IR = ε − Ir. Оно также измеряется в вольтах. По нему можно узнать, какое напряжение получает подключённый прибор, и оценить потери внутри источника.

Как это устроено

В замкнутой цепи заряд совершает полный круг: внутри источника его перемещают сторонние силы, а во внешней цепи работу совершает электрическое поле. Поэтому ЭДС связана с работой именно внутри источника, а не с напряжением на одном внешнем резисторе. Деление работы на заряд позволяет сравнивать источники независимо от количества перенесённого заряда.

Чтобы пройти по цепи, заряд преодолевает и внешнее сопротивление R, и внутреннее r. Эти сопротивления соединены последовательно по пути тока, поэтому складываются: полное сопротивление равно R + r. Подстановка этого значения в закон Ома даёт I = ε/(R + r); чем больше сопротивление всей цепи, тем меньше ток при той же ЭДС.

При разряде источника энергия передаётся и внешней цепи, и внутренним частям источника. На внешнем сопротивлении падает напряжение IR, а внутри — Ir, так что ε = IR + Ir. Отсюда напряжение на зажимах U = IR = ε − Ir: оно меньше ЭДС, потому что часть энергии расходуется внутри источника.

Если увеличить внешнее сопротивление, знаменатель R + r возрастёт, а сила тока уменьшится. При разомкнутой цепи сопротивление внешнего участка настолько велико, что ток практически равен нулю; тогда падение Ir внутри источника исчезает и напряжение на зажимах равно ЭДС. В реальном измерении вольтметр должен иметь очень большое сопротивление, чтобы почти не забирать ток.

При коротком замыкании полюса источника соединены проводником с очень малым сопротивлением, поэтому R ≈ 0. Тогда ток почти равен ε/r и может оказаться большим, поскольку его ограничивает в основном только внутреннее сопротивление. Нагрев от такого тока опасен, поэтому нельзя соединять полюса источника напрямую.

Величины и соотношения в полной электрической цепи

Сначала определите, какие величины известны и относится ли задача ко всей цепи или только к её внешнему участку. Для тока в замкнутой цепи используйте формулу с R + r, а для напряжения на зажимах — U = ε − Ir или U = IR. Следите за единицами: сопротивление выражают в омах, ток — в амперах, напряжение и ЭДС — в вольтах.

Разбор задач

1. Ток и напряжение на резисторе

Источник с ЭДС 6 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдём ток и напряжение на резисторе. Сначала учитываем, что заряд проходит через оба сопротивления, а затем используем закон Ома для внешнего участка.

1. Полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
2. Ток в цепи: I = ε/(R + r) = 6 В/6 Ом = 1 А.
3. Напряжение на резисторе: U = IR = 1 А · 5 Ом = 5 В. Проверка по источнику даёт ε − Ir = 6 В − 1 А · 1 Ом = 5 В.

Ответ: сила тока равна 1 А, напряжение на резисторе — 5 В. Проверка показывает, что напряжение на нагрузке и напряжение на зажимах совпали, а оставшийся 1 В падает внутри источника.

2. ЭДС и внутреннее сопротивление

К источнику подключили резистор 4 Ом; ток равен 1 А, напряжение на зажимах — 4 В. Нужно найти ЭДС и внутреннее сопротивление. Измеренное напряжение относится к внешнему участку, а недостающая часть ЭДС связана с падением напряжения внутри источника.

1. Проверим напряжение на резисторе: U = IR = 1 А · 4 Ом = 4 В, что совпадает с условием.
2. По закону для полной цепи ε = U + Ir. Но для определения ε и r по имеющимся данным нужна ещё одна независимая величина: одного тока и напряжения недостаточно.

Ответ: данных недостаточно, чтобы однозначно найти ЭДС и внутреннее сопротивление. Например, значения ε = 4 В и r = 0 Ом удовлетворяют условию, но подходят и другие пары ε = 4 В + r · 1 А. Для расчёта требуется дополнительно знать ЭДС или внутреннее сопротивление, либо измерить ток и напряжение при другой нагрузке.

3. Сопротивление нагрузки и напряжение на зажимах

ЭДС источника равна 12 В, внутреннее сопротивление — 0,5 Ом, а требуемый ток — 2 А. Найдём сопротивление внешней цепи и напряжение на зажимах. Неизвестное R выделяем из закона Ома для полной цепи, после чего проверяем U двумя способами.

1. Из I = ε/(R + r) получаем R + r = ε/I, поэтому R = ε/I − r.
2. Подставляем данные: R = 12 В/2 А − 0,5 Ом = 6 Ом − 0,5 Ом = 5,5 Ом.
3. По внешней цепи U = IR = 2 А · 5,5 Ом = 11 В.
4. Проверка по источнику: U = ε − Ir = 12 В − 2 А · 0,5 Ом = 11 В.

Ответ: нужно подключить сопротивление 5,5 Ом, напряжение на зажимах составит 11 В. Оба способа дали одинаковый результат, значит, вычисления согласуются с балансом напряжений ε = U + Ir.

Типичные ошибки

Подставлять в закон Ома только внешнее сопротивление R — значит забыть, что ток проходит и через внутренние части источника. Так ошибаются, перенося формулу для участка цепи на всю цепь без изменений. Проверьте себя: в знаменателе полной цепи должно стоять R + r.

Считать ЭДС и напряжение на зажимах одним и тем же неверно, когда источник разряжается и по цепи течёт ток. Часть ЭДС теряется на внутреннем сопротивлении, поэтому U = ε − Ir. Проверка: при ненулевых I и r напряжение на зажимах должно быть меньше ЭДС.

При коротком замыкании близким к нулю становится внешнее сопротивление R, а не внутреннее r. Путая их, можно получить неверный вывод о токе или предположить, что источник совсем не ограничивает его. Используйте Iкз ≈ ε/r: внутреннее сопротивление остаётся в знаменателе.

Ошибки в переводе единиц и преждевременное округление могут нарушить связь ε = U + Ir. Например, сопротивление нужно выражать в омах, а не подставлять числовое значение в килоомах без пересчёта. Проверяйте размерность и подставляйте найденные величины обратно в формулу; промежуточные значения округляйте только при необходимости.

Связь с другими темами

Для применения закона Ома для полной цепи нужно уметь находить ток, напряжение и сопротивление на отдельном участке цепи. Также пригодятся правила последовательного соединения: сопротивления, через которые проходит один и тот же ток, складываются. Это объясняет появление суммы R + r в формуле.

Закон используют при расчёте источников и электрических цепей, а также при измерениях ЭДС и внутреннего сопротивления. Он помогает проследить, как энергия источника распределяется между внешней нагрузкой и его внутренними частями. Это связывает тему с расчётом электрической мощности и преобразованием энергии.

Что запомнить

• Полное сопротивление замкнутой цепи равно R + r.
• Сила тока в полной цепи: I = ε/(R + r).
• ЭДС измеряется в вольтах и характеризует работу сторонних сил на единицу заряда.
• При разряде источника напряжение на зажимах U = IR = ε − Ir.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• Ток короткого замыкания при пренебрежимо малом внешнем сопротивлении равен ε/r.