§ 108. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

ЭДС источника — физическая величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника; её обозначают ε. Сторонними называют силы, которые поддерживают движение зарядов внутри источника. ЭДС показывает, какую энергию источник сообщает каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление его внутренних частей, обозначаемое r. Оно связано с устройством источника и влияет на ток во всей цепи. Когда ток проходит через источник, на его внутреннем сопротивлении возникает падение напряжения Ir.

Полная цепь — замкнутая электрическая цепь, состоящая из внешнего участка с сопротивлением R и источника с внутренним сопротивлением r. Замкнутый путь необходим, чтобы заряды могли непрерывно двигаться по цепи. Разделение на внешний и внутренний участки помогает учитывать все препятствия для тока.

Закон Ома для полной цепи задаёт зависимость силы тока от ЭДС и полного сопротивления: I = ε/(R + r). Здесь I — сила тока, а сумма R + r учитывает сопротивление и внешнего участка, и самого источника. Закон нужен, чтобы рассчитывать ток в реальной цепи, а не только на отдельном резисторе.

Как это устроено

При движении по замкнутой цепи заряд получает энергию от сторонних сил внутри источника. Эти силы перемещают заряд против действия электрического поля, поддерживая разность потенциалов между полюсами. Затем на внешнем участке электрическое поле направленно перемещает заряд и совершает работу, передавая энергию потребителю.

Внутри источника тоже действует электрическое поле, и на внутреннем сопротивлении оно совершает работу. Поэтому энергия заряда расходуется не только во внешнем резисторе: часть преобразуется во внутренние потери источника. Сопротивления R и r включены одно за другим в один путь тока, то есть соединены последовательно. По правилу последовательного соединения их складывают, получая полное сопротивление R + r.

За один полный обход цепи работа сторонних сил на единичном заряде равна ε. Работа электрического поля на внешнем сопротивлении составляет IR, а на внутреннем — Ir, поэтому ε = IR + Ir. Вынеся I за скобки, получаем ε = I(R + r). Деление обеих частей на полное сопротивление приводит к закону Ома для полной цепи: I = ε/(R + r).

Напряжение между зажимами источника равно напряжению на внешнем участке, поскольку именно к этим зажимам подключён потребитель. По закону Ома для участка цепи U = IR. Из равенства ε = IR + Ir следует и другая запись: U = ε − Ir. Она показывает, что часть ЭДС приходится на внутреннее сопротивление, а оставшаяся часть доступна внешней цепи.

Если ε и r не меняются, увеличение R увеличивает знаменатель формулы I = ε/(R + r), поэтому ток становится меньше. При разомкнутой цепи внешнее сопротивление можно считать очень большим, и ток стремится к нулю. Тогда падение напряжения Ir внутри источника исчезает, а напряжение на зажимах становится равным ЭДС. Это позволяет измерять ЭДС в режиме, когда источник практически не нагружен.

Величины и соотношения в полной электрической цепи

Сначала определите, замкнута ли цепь и какие сопротивления в ней есть, а затем выберите подходящую строку. Для расчёта тока используйте сумму R + r, а для напряжения на зажимах — формулу с учётом режима цепи. Обозначения и единицы измерения проверяйте до подстановки чисел.

Разбор задач

Задача 1

Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдём силу тока. В формуле полной цепи учитываются оба сопротивления, так как заряд проходит и через резистор, и через источник.

1. Запишем данные: ε = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом.
2. Найдём полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
3. Применим закон Ома: I = ε/(R + r) = 12 В/6 Ом = 2 А.

Ответ: сила тока в цепи равна 2 А. Если бы мы забыли внутреннее сопротивление, получилось бы 12 В/5 Ом = 2,4 А, то есть завышенное значение.

Задача 2

К источнику с ЭДС 9 В подключили резистор 2 Ом, и в цепи течёт ток 3 А. Требуется найти внутреннее сопротивление и напряжение на зажимах. Сначала воспользуемся уравнением ε = I(R + r), а затем проверим напряжение двумя равносильными способами.

1. Выразим внутреннее сопротивление: r = ε/I − R.
2. Подставим данные: r = 9 В/3 А − 2 Ом = 3 Ом − 2 Ом = 1 Ом.
3. Найдём напряжение на зажимах по внешнему участку: U = IR = 3 А · 2 Ом = 6 В.
4. Проверим: U = ε − Ir = 9 В − 3 А · 1 Ом = 6 В.

Ответ: внутреннее сопротивление равно 1 Ом, напряжение на зажимах — 6 В. Совпадение результатов проверки подтверждает, что учтено падение напряжения внутри источника.

Задача 3

Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом поочерёдно подключают к резисторам 5 Ом и 2 Ом. Для каждой нагрузки найдём ток и напряжение на зажимах. Сравнение покажет, как изменение внешнего сопротивления отражается на режиме источника.

1. При R = 5 Ом: I = 12 В/(5 Ом + 1 Ом) = 2 А.
2. Напряжение при этой нагрузке: U = IR = 2 А · 5 Ом = 10 В.
3. При R = 2 Ом: I = 12 В/(2 Ом + 1 Ом) = 4 А.
4. Напряжение при второй нагрузке: U = IR = 4 А · 2 Ом = 8 В.

Ответ: для резистора 5 Ом ток равен 2 А, напряжение — 10 В; для резистора 2 Ом ток равен 4 А, напряжение — 8 В. Уменьшение внешнего сопротивления увеличило ток, но напряжение на зажимах снизилось из-за большего падения Ir внутри источника.

Типичные ошибки

• Подстановка только внешнего сопротивления R приводит к завышению тока. Так ошибаются, перенося закон Ома для участка цепи на всю цепь и забывая о сопротивлении источника. Проверьте, что в знаменателе стоит R + r.

• ЭДС принимают за напряжение на зажимах даже при замкнутой цепи. Причина в том, что обе величины измеряются в вольтах, хотя физически описывают разное. При токе проверьте соотношение U = ε − Ir: напряжение должно быть меньше ЭДС.

• Внутреннее сопротивление r путают с сопротивлением внешнего резистора R. Оба обозначения относятся к сопротивлению, но описывают разные части цепи. Нарисуйте границу источника и проверьте, что R относится к внешнему участку, а r — к самому источнику.

• При разомкнутой цепи иногда считают, что ток сохраняется, хотя замкнутого пути для зарядов нет. Ошибка возникает из-за смешения напряжения и тока: напряжение может быть, даже если ток не течёт. Для разомкнутой цепи запишите I = 0 и U = ε.

Связь с другими темами

Для применения закона нужно знать закон Ома для участка цепи, а также понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Правило последовательного соединения объясняет, почему сопротивления R и r складываются. Закон полной цепи используют при расчёте батарей и реальных источников, учитывая потери внутри них. Найденные ток и напряжение позволяют перейти к темам работы и мощности электрического тока и рассчитать энергетические характеристики цепи.

Что запомнить

• Полное сопротивление замкнутой цепи равно R + r.
• Сила тока в полной цепи: I = ε/(R + r).
• ЭДС источника расходуется на внешнем и внутреннем участках: ε = IR + Ir.
• Напряжение на зажимах при протекании тока: U = ε − Ir = IR.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• При неизменных ЭДС и внутреннем сопротивлении увеличение внешнего сопротивления уменьшает силу тока.