2. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

Полная электрическая цепь — замкнутая цепь, в которую входят источник тока, внешняя часть с сопротивлением R и внутренняя часть источника с сопротивлением r. Внешняя часть — это, например, резистор и соединительные провода, подключённые к источнику. Такое разделение помогает учитывать, что энергия расходуется не только на нагрузке, но и внутри источника.

Электродвижущая сила, или ЭДС, — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника. Её обозначают ε и измеряют в вольтах. ЭДС показывает, сколько энергии источник передаёт каждому кулону заряда, поэтому она нужна для расчёта всей цепи.

Внутреннее сопротивление источника обозначают r. Оно препятствует движению зарядов внутри источника и вызывает там падение напряжения. Его учитывают, чтобы определить реальную силу тока и напряжение, которое источник отдаёт внешней цепи.

Закон Ома для полной цепи устанавливает: сила тока I равна отношению ЭДС к сумме внешнего и внутреннего сопротивлений, то есть I = ε/(R + r). Формула описывает цепь целиком, а не только отдельный резистор. Она позволяет найти ток, когда известны характеристики источника и нагрузки.

Как это устроено

Когда заряд проходит полный круг по цепи, источник сообщает ему энергию, а затем эта энергия расходуется. Во внешней части она превращается, например, во внутреннюю энергию резистора; внутри источника часть энергии также теряется из-за сопротивления r. Поэтому нельзя считать, что вся энергия источника достаётся только нагрузке: падение напряжения возникает в обеих частях цепи.

На внешнем участке действует закон Ома: напряжение на нём равно U = IR. Внутри источника падение напряжения равно Ir, поскольку через источник проходит тот же ток. ЭДС уравновешивает оба падения напряжения, поэтому ε = IR + Ir = I(R + r); отсюда получается закон Ома для полной цепи I = ε/(R + r). Такое сложение возможно, потому что внешняя и внутренняя части последовательно входят в путь тока.

Напряжение на зажимах источника — это напряжение, которое получает внешняя цепь. Из равенства ε = U + Ir следует U = ε − Ir, а по закону Ома для нагрузки U = IR. При прохождении тока часть ЭДС расходуется на внутреннем сопротивлении, поэтому клеммное напряжение меньше ЭДС. Если ток мал, внутреннее падение Ir тоже мало и U ближе к ε.

При увеличении внешнего сопротивления R сумма R + r растёт, поэтому ток I = ε/(R + r) уменьшается. Если же R уменьшать, ток возрастает: нагрузка всё меньше ограничивает движение зарядов. В реальной цепи ток не может превысить значение, соответствующее почти нулевому внешнему сопротивлению, поскольку сохраняется r.

Короткое замыкание — режим, в котором зажимы источника соединены проводником с очень малым сопротивлением, то есть R близко к нулю. Подстановка R = 0 в формулу полной цепи даёт Iкз = ε/r. Это не обычная работа с нагрузкой: ток может быть опасно большим и нагреть источник или провода. Бесконечным он не становится, потому что его ограничивает внутреннее сопротивление, а также сопротивление реальных проводников.

Величины и формулы для полной электрической цепи

В таблице собраны обозначения, связи между величинами и единицы измерения. Для расчёта сначала определите, какие величины известны, а затем выберите формулу для нужной части цепи. Сопротивления R и r складывают, так как ток последовательно проходит через оба участка.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдём силу тока и напряжение на резисторе. Сначала учитываем, что ток проходит через оба сопротивления, а затем используем закон Ома для внешнего участка.

1. Полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
2. Ток в цепи: I = ε/(R + r) = 12 В/6 Ом = 2 А.
3. Напряжение на резисторе: U = IR = 2 А · 5 Ом = 10 В.

Ответ: сила тока равна 2 А, напряжение на резисторе — 10 В. Оставшиеся 2 В приходятся на внутреннее сопротивление источника: Ir = 2 А · 1 Ом. Сумма напряжений 10 В и 2 В равна ЭДС 12 В, поэтому результат согласуется с балансом напряжений.

Задача 2. Источник с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом питает цепь, в которой ток равен 2 А. Определим сопротивление внешней части и напряжение на её зажимах. Поскольку известны ЭДС, ток и r, выразим нагрузку из закона Ома для полной цепи.

1. Из I = ε/(R + r) получаем R + r = ε/I.
2. Тогда R = ε/I − r = 9 В/2 А − 0,5 Ом = 4 Ом.
3. Проверяем напряжение: U = IR = 2 А · 4 Ом = 8 В. Также U = ε − Ir = 9 В − 2 А · 0,5 Ом = 8 В.

Ответ: внешнее сопротивление равно 4 Ом, напряжение на зажимах — 8 В. Две проверки дали одно значение напряжения. Разница между ЭДС и напряжением составляет 1 В и равна падению напряжения внутри источника.

Задача 3. Источник с ЭДС 24 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключают сначала к сопротивлению 10 Ом, а затем к сопротивлению 4 Ом. Сравним ток, напряжение и мощность во внешней цепи. Для каждого режима отдельно найдём ток, поскольку смена нагрузки меняет полное сопротивление цепи.

1. При R = 10 Ом: I = 24/(10 + 2) = 2 А, U = IR = 20 В, P = I²R = 40 Вт.
2. При R = 4 Ом: I = 24/(4 + 2) = 4 А, U = IR = 16 В, P = I²R = 64 Вт.
3. Сравнение: при меньшей нагрузке ток возрастает, но напряжение на ней уменьшается, потому что внутри источника падает большее напряжение Ir.

Ответ: для 10 Ом получаем 2 А, 20 В и 40 Вт; для 4 Ом — 4 А, 16 В и 64 Вт. Мощность во втором случае больше, хотя напряжение на нагрузке меньше, потому что мощность зависит и от силы тока. Часть энергии при этом выделяется внутри источника, что отражает ненулевое r.

Типичные ошибки

Подставляют в расчёт I = ε/R и забывают внутреннее сопротивление. Так делают, когда применяют закон Ома только к внешнему резистору и принимают источник за идеальный. Проверка: если в условии дано r, используйте I = ε/(R + r); при положительном r ток должен быть меньше, чем ε/R.

Считают, что ЭДС всегда равна напряжению на внешнем участке. ЭДС относится ко всему источнику, а при токе часть её приходится на внутреннее сопротивление. Проверить себя можно равенством U = ε − Ir: при ненулевых I и r должно получиться U < ε.

Иногда сопротивления R и r объединяют как параллельные, хотя они лежат на одном пути тока. Вероятная причина — путаница между последовательным и параллельным соединениями. Нарисуйте путь заряда от источника через нагрузку и обратно: если ток проходит через оба элемента один за другим, общее сопротивление равно R + r.

Ещё одна ошибка — считать ток короткого замыкания бесконечным, полагая внешнее сопротивление нулевым и забывая об источнике. При коротком замыкании нулевым становится только R, а r остаётся, поэтому Iкз = ε/r. Проверьте, что в знаменателе формулы есть внутреннее сопротивление; для реального источника ток конечен.

Связь с другими темами

Для изучения полной цепи нужны закон Ома для участка цепи, правила последовательного соединения сопротивлений и понятие работы электрического тока. Они помогают понять, откуда берутся падения напряжения и почему сопротивления складываются. Закон Ома для полной цепи применяют при расчёте реальных источников и напряжения на их клеммах. Далее он пригодится при изучении мощности источника, коэффициента полезного действия и правил Кирхгофа.

Что запомнить

• Полная цепь включает внешнее сопротивление R и внутреннее сопротивление источника r.
• Сила тока в полной цепи: I = ε/(R + r).
• ЭДС измеряется в вольтах и характеризует работу сторонних сил внутри источника.
• Напряжение на внешнем участке: U = IR = ε − Ir.
• При увеличении внешнего сопротивления сила тока уменьшается.
• При коротком замыкании Iкз = ε/r.
• Внутреннее сопротивление вызывает потерю напряжения и энергии внутри источника.