"Физика. Базовый уровень", Андрюшечкин С.М.
Законы сохранения помогают находить скорость и энергию тел, даже если подробности их движения неизвестны. При взаимодействии тел в замкнутой системе сохраняется полный импульс, а при действии только консервативных сил — механическая энергия. Эти правила применяют к столкновениям, отдаче и движению по наклонной плоскости. Чтобы выбрать нужный закон, сначала определяют систему тел и проверяют, какие внешние силы действуют на неё.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости, а единица измерения — кг·м/с. Эта величина помогает описывать движение и сравнивать, насколько трудно остановить разные тела.
Импульс силы — произведение силы на время её действия; для постоянной силы FΔt = Δp. Здесь Δp — изменение импульса тела, поэтому действие силы можно оценить не только по её величине, но и по длительности. Связь позволяет находить изменение скорости при ударе или толчке.
Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их действие взаимно компенсируется. Внутренние силы, которыми тела системы взаимодействуют друг с другом, замкнутость не нарушают. Понятие нужно, чтобы проверить, можно ли применить закон сохранения импульса.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы: E = Eк + Eп. Кинетическая энергия связана с движением, а потенциальная — с положением или деформацией. Их сумма показывает механическую энергию системы и помогает проследить её превращения.
Сила изменяет скорость тела, потому что сообщает ему ускорение: по второму закону Ньютона F = ma. За время Δt скорость меняется на Δv = aΔt, поэтому изменение импульса равно Δp = mΔv = maΔt = FΔt для постоянной силы. Значит, импульс силы показывает, насколько изменился импульс тела; при переменной силе учитывают её действие за весь промежуток времени.
При взаимодействии двух тел силы направлены противоположно и равны по модулю согласно третьему закону Ньютона. За одно и то же время они сообщают телам противоположные изменения импульса, так что суммарное изменение импульса системы равно нулю. Если внешние силы отсутствуют или компенсируются, полный импульс не меняется — это закон сохранения импульса.
Этот закон применяют к столкновениям, выстрелу, отдаче и разлёту тел, когда внешним воздействием можно пренебречь. Сначала задают ось и выбирают её положительное направление, затем записывают импульсы со знаками: движение против оси означает отрицательную скорость. Например, при слипании тел после удара их общий импульс до столкновения равен импульсу движущегося вместе тела после него.
Кинетическая энергия Eк = mv²/2 зависит от массы и квадрата скорости: чем быстрее движется тело, тем больше его энергия. Потенциальная энергия определяется взаимодействием и положением: у тела на высоте h в поле тяжести Eп = mgh, а у деформированной пружины Eп = kx²/2, где k — жёсткость, x — деформация. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии условен, но разность энергий имеет физический смысл.
Если действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости, энергия переходит из кинетической в потенциальную и обратно, а их сумма остаётся постоянной. Трение — неконсервативная сила: часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию нагретых тел и деформаций. Поэтому механическая энергия может уменьшиться, но полная энергия замкнутой системы сохраняется, включая внутреннюю и другие виды энергии.
В таблице собраны формулы и условия, от которых зависит выбор закона. Перед расчётом определите, какие тела входят в систему, и проверьте внешние силы. Для импульса учитывайте направление, а при работе с энергией — все виды энергии, которые меняются.
| Величина или закон | Формула | Условия применимости | Физический смысл | Пример применения |
|---|---|---|---|---|
| Импульс тела | p = mv | Для тела с массой m и скоростью v | Количественная характеристика движения; вектор направлен по скорости | Найти импульс тележки |
| Импульс силы и изменение импульса | FΔt = Δp | Для постоянной силы; в векторной форме | Действие силы за время меняет импульс | Оценить изменение скорости при ударе |
| Закон сохранения импульса | Σp до = Σp после | Замкнутая система или пренебрежимо малый внешний импульс | Полный импульс системы не меняется | Столкновение, отдача, разлёт тел |
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Для движущегося тела | Энергия движения | Найти скорость по энергии |
| Потенциальная энергия | Eп = mgh; Eп = kx²/2 | Поле тяжести у поверхности Земли; упругая деформация пружины | Энергия положения или деформации | Падение тела, сжатие пружины |
| Закон сохранения механической энергии | Eк + Eп = const | Действуют только консервативные силы | Кинетическая и потенциальная энергии превращаются друг в друга | Движение без трения по наклонной плоскости |
| Закон сохранения полной энергии | Eполная = const | Замкнутая система | Энергия не исчезает, а переходит из одного вида в другой | Нагрев при торможении с трением |
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с, а затем разгоняется до 5 м/с в том же направлении. Сначала найдём её начальный импульс, затем — импульс силы по изменению импульса. Положительное направление выберем по движению тележки.
Ответ: 6 кг·м/с; импульс силы — 4 Н·с по направлению скорости. Время действия и значение самой силы отдельно определить нельзя: для этого нужно знать ещё одну из этих величин.
Тела массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 1 м/с, а после столкновения движутся вместе. Выберем положительным направление движения первого тела: скорость второго тогда отрицательна. Поскольку внешним импульсом пренебрегаем, до и после удара полный импульс одинаков.
Ответ: 2/3 м/с в направлении движения первого тела до столкновения. Знак скорости второго тела принципиален: без него получилось бы неверное сложение импульсов.
Тело начинает движение без начальной скорости с высоты 5 м. Сначала трения нет, затем рассмотрим случай, когда трение совершило известную отрицательную работу Wтр. Массу тела и значение работы в условии численно не задали, поэтому второй результат можно записать общей формулой, а не числом.
Ответ: без трения скорость у основания около 9,9 м/с; при трении — √(2gh + 2Wтр/m), если выражение под корнем неотрицательно. Для численного значения во втором случае нужны масса и работа трения.
Первая ошибка — складывать модули импульсов тел, движущихся в противоположных направлениях. Так поступают, когда забывают, что импульс — вектор; выберите ось и проверьте знак скорости каждого тела. Если поменять положительное направление, знаки изменятся, но физический результат должен остаться тем же.
Вторая ошибка — применять закон сохранения импульса, не проверив внешние силы. Система с заметным внешним воздействием не является замкнутой, поэтому её полный импульс может измениться. Проверьте, можно ли пренебречь внешним импульсом за время процесса или включить взаимодействующие тела в систему.
Третья ошибка — считать, что механическая энергия сохраняется при трении. Это происходит из-за смешения механической энергии с полной: при трении часть механической энергии переходит во внутреннюю. Проверьте, есть ли неконсервативные силы, и учтите их работу или изменение внутренней энергии.
Четвёртая ошибка — путать импульс с кинетической энергией или их единицы измерения. Импульс зависит от скорости линейно и измеряется в кг·м/с, а кинетическая энергия — от квадрата скорости и измеряется в джоулях. Перед подстановкой запишите нужную формулу и проверьте единицы полученного ответа.
Для изучения законов сохранения нужны законы Ньютона, формулы скорости и ускорения, понятия работы и энергии. Закон сохранения импульса помогает анализировать столкновения, отдачу оружия, реактивное движение и движение центра масс. Позже те же идеи встречаются при изучении колебаний, молекулярной физики, электродинамики и энергетических процессов.
Почему импульс сохраняется, если тела после столкновения изменяют скорости?
При столкновении тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Поэтому изменения их импульсов компенсируют друг друга, и общий импульс замкнутой системы не меняется.
Можно ли применять закон сохранения импульса при наличии трения?
Можно, если трение является внутренней силой системы либо его внешний импульс за рассматриваемое время пренебрежимо мал. Если внешнее трение заметно меняет импульс системы, закон сохранения импульса в таком виде применять нельзя.
Почему при неупругом столкновении сохраняется импульс, но не сохраняется механическая энергия?
Импульс сохраняется, если внешнее воздействие на систему мало, потому что внутренние силы попарно компенсируются. При неупругом столкновении часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию, звук и деформацию.
Как выбрать положительное направление при решении задач на импульс?
Выберите ось вдоль удобного направления движения и объявите его положительным. Скорости и импульсы тел, движущихся в обратную сторону, записывайте со знаком минус.
Чем закон сохранения механической энергии отличается от закона сохранения полной энергии?
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной; она сохраняется, когда действуют только консервативные силы. Полная энергия включает также внутреннюю энергию и другие виды энергии, поэтому она сохраняется и при превращении механической энергии из-за трения.
4. Законы сохранения в механике
