"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Законы сохранения помогают находить движение тел без подробного разбора всех сил в каждый момент времени. Для системы тел суммарный импульс не меняется, если внешнее воздействие отсутствует или им можно пренебречь. Механическая энергия сохраняется, когда действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости. Эти правила применяют при выстрелах, столкновениях и движении по гладким поверхностям, но условия для импульса и энергии нужно проверять отдельно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина p = m·v, где m — масса, v — скорость, а направление p совпадает с направлением скорости. Единица импульса в СИ — кг·м/с. Импульс нужен, чтобы описывать движение и взаимодействие тел с учётом и массы, и скорости.
Импульс силы — произведение силы на время её действия: F·Δt; при постоянной силе он равен изменению импульса тела, F·Δt = Δp. Это следует из второго закона Ньютона F = Δp/Δt для постоянной силы. Такая запись особенно полезна, когда сила действует недолго, например при ударе.
Закон сохранения импульса утверждает: суммарный импульс замкнутой системы остаётся постоянным, если внешние силы отсутствуют или их действием можно пренебречь. Замкнутой здесь называют систему, на которую не влияет заметное внешнее воздействие. Закон позволяет связать скорости тел до и после взаимодействия.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий: Eмех = Eк + Eп. Кинетическая энергия связана с движением, потенциальная — с положением тел или их взаимодействием; обе измеряются в джоулях (Дж). Их сумма помогает описывать переходы между движением и запасённой энергией.
Второй закон Ньютона связывает силу с изменением скорости тела: F = m·a. Поскольку масса постоянна, умножение этого уравнения на промежуток времени даёт F·Δt = m·Δv = Δp. Значит, действие силы за время определяется не только её величиной: слабая сила, приложенная надолго, тоже может заметно изменить импульс. Для переменной силы используют её среднее значение за время действия.
При взаимодействии двух тел каждое действует на другое с равной по модулю и противоположной по направлению силой — так говорит третий закон Ньютона. За один и тот же промежуток времени силы сообщают телам противоположные импульсы, поэтому изменения импульсов равны по модулю и противоположны по направлению. Импульсы отдельных тел меняются, но их суммарное изменение от такого взаимодействия равно нулю.
Чтобы получить закон сохранения, выбирают систему тел и рассматривают её суммарный импульс. Внутренние силы не меняют эту сумму, а внешние могут её изменить; если внешняя равнодействующая равна нулю или её импульс за выбранное время мал, сумма импульсов до и после взаимодействия одинакова. Поэтому в задачах важно не просто назвать тела, а проверить, какие силы действуют на систему и сколько длится процесс.
Механическая энергия складывается из кинетической и потенциальной. Например, падающее тело теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую: сила тяжести совершает работу, увеличивая скорость. Для консервативной силы работа определяется начальным и конечным положением, а не формой пути, поэтому уменьшение потенциальной энергии компенсируется увеличением кинетической.
Механическая энергия сохраняется, когда в рассматриваемой системе нет потерь на трение и других неконсервативных воздействий. При трении часть энергии движения превращается во внутреннюю энергию — например, в нагрев; при неупругом ударе тела могут деформироваться и нагреться. Полная энергия при этом не исчезает, но одной суммы кинетической и потенциальной энергий уже недостаточно для описания всех превращений.
| Величина или закон | Формула | Условия применимости | Физический смысл | Типичные применения |
|---|---|---|---|---|
| Импульс тела | p = m·v | Тело рассматривают как материальную точку или описывают движение его центра масс | Мера движения с учётом массы и скорости | Столкновения, отдача |
| Импульс силы и изменение импульса | F·Δt = Δp | Для постоянной силы; для переменной берут среднюю силу | Сила за время изменяет импульс | Удары, торможение |
| Закон сохранения импульса | Σpдо = Σpпосле | Замкнутая система или пренебрежимо малый внешний импульс | Суммарный вектор импульса постоянен | Выстрелы, столкновения |
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Для поступательного движения тела | Энергия, связанная со скоростью | Падение, торможение |
| Потенциальная энергия | Eп = mgh; Eп = kx²/2 | Для тяжести у поверхности Земли; для упругой деформации пружины | Энергия положения или взаимодействия | Подъём и падение, пружины |
| Закон сохранения механической энергии | Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 | Действуют только консервативные силы | Кинетическая и потенциальная энергии переходят друг в друга | Движение по гладкой поверхности |
| Переход механической энергии во внутреннюю | ΔEмех < 0; энергия переходит во внутреннюю | Трение, деформация, неупругий удар | Механическая энергия уменьшается, полная энергия сохраняется | Торможение, неупругие столкновения |
Сначала определите систему и внешние воздействия, затем выберите подходящий закон. Для импульса учитывайте направления и записывайте равенство по выбранной оси; для энергии сравнивайте состояния до и после процесса.
Формулу потенциальной энергии выбирают по виду взаимодействия: mgh — для тела в поле тяжести у поверхности Земли, kx²/2 — для упругой пружины. Если присутствует трение, одной механической энергии для решения может быть недостаточно.
Из ружья массой 5 кг вылетает пуля массой 10 г со скоростью 600 м/с. Найдём скорость отдачи ружья. До выстрела ружьё и пуля покоились, а направление полёта пули примем за положительное. За короткое время выстрела внешним импульсом можно пренебречь.
Минус показывает, что ружьё движется в направлении, противоположном полёту пули. Скорость отдачи ружья по модулю равна 1,2 м/с.
Тело начинает скользить без начальной скорости с вершины гладкой наклонной плоскости, расположенной на высоте h над основанием. Нужно найти скорость у основания. Поскольку плоскость гладкая, потерь на трение нет, а потенциальную энергию у основания примем равной нулю.
Ответ: скорость у основания равна √(2gh). Если тело имело начальную скорость или конечная точка находилась бы выше выбранного нулевого уровня, эти энергии тоже нужно было бы учесть.
Два бруска массами m₁ и m₂ движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂ и после удара слипаются. Направление движения первого бруска выберем за положительное, поэтому скорость второго в записи будет отрицательной. Требуется найти общую скорость и изменение кинетической энергии.
Ответ: общая скорость задаётся формулой выше, а механическая энергия при неупругом ударе уменьшается, то есть ΔE < 0 (если относительная скорость до удара ненулевая). Численный результат нельзя получить без значений масс и скоростей; потерянная механическая энергия переходит во внутреннюю.
Ошибка: сохранять импульс отдельного тела. Закон относится к суммарному импульсу выбранной замкнутой системы, а импульс каждого тела может измениться из-за взаимодействия. Так ошибаются, когда не определяют систему; проверьте, включены ли в неё все тела, обменивающиеся импульсом.
Ошибка: складывать импульсы как обычные положительные числа. Импульс — вектор, поэтому направления противоположно движущихся тел учитываются знаками проекций. Ошибка возникает, если смотреть только на модули скоростей; проверка — нарисовать ось и обозначить направление каждого движения.
Ошибка: применять сохранение механической энергии при трении или неупругом ударе, не учитывая внутреннюю энергию. В таких условиях часть механической энергии переходит в другие формы. Перед решением проверьте, есть ли трение, деформация или нагрев; при их наличии сравнивайте механическую энергию с учётом потерь или используйте закон сохранения полной энергии.
Ошибка: путать импульс тела и импульс силы, записывая p = F·t и p = m·v как взаимозаменяемые формулы. Первое выражение описывает действие силы за время и равно изменению импульса, второе задаёт импульс тела. Проверьте, что именно требуется найти: состояние движения или его изменение под действием силы.
Для вывода связи между силой и изменением импульса нужны второй и третий законы Ньютона. Работа, кинетическая и потенциальная энергии помогают понять закон сохранения механической энергии и переходы между её видами. Знание векторов и проекций необходимо, чтобы правильно записать импульсы при движении в разных направлениях.
Законы сохранения применяют при изучении реактивного движения, столкновений и движения спутников, а также в сложных задачах динамики. Они позволяют выбрать удобный способ решения: проследить взаимодействие через импульс или сравнить начальное и конечное состояния по энергии.
Чем импульс тела отличается от импульса силы?
Импульс тела — это величина p = m·v, которая зависит от массы и скорости тела. Импульс силы равен F·Δt и показывает, насколько изменился импульс тела за время действия силы. У этих величин одинаковые единицы измерения, но разный физический смысл.
Почему при выстреле сохраняется импульс системы, хотя на пулю действует сила?
Сила, с которой ружьё действует на пулю, является внутренней для системы «ружьё — пуля». По третьему закону Ньютона пуля действует на ружьё с равной и противоположной силой, поэтому изменения импульсов компенсируются. Внешним воздействием за короткое время выстрела обычно можно пренебречь.
Всегда ли сохраняется механическая энергия?
Нет. Она сохраняется, если система замкнута в энергетическом смысле и действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости. При трении и неупругих столкновениях часть механической энергии переходит во внутреннюю.
Можно ли применять закон сохранения импульса при наличии трения?
Можно, если трение является внутренней силой выбранной системы, а суммарным внешним импульсом можно пренебречь. Если внешняя сила трения за рассматриваемое время заметно меняет импульс системы, закон сохранения в обычном виде применять нельзя. Нужно оценить внешнее воздействие и выбрать подходящую систему.
Почему при неупругом столкновении энергия не исчезает, но механическая энергия уменьшается?
Полная энергия сохраняется, но после удара часть кинетической энергии превращается во внутреннюю: тела деформируются, нагреваются или издают звук. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий, то есть механическая энергия, становится меньше. Энергия не исчезает, а меняет форму.
З Законы сохранения в механике
