30. Плоское зеркало. Линзы

Определения и обозначения

Плоское зеркало — гладкая плоская поверхность, отражающая свет. Если предмет находится перед зеркалом, его изображение будет за зеркалом на таком же расстоянии от плоскости поверхности. Это понятие помогает предсказать, где именно человек увидит предмет в зеркале.

Мнимое изображение образуется там, где пересекаются продолжения отражённых или преломлённых лучей, а не сами лучи. Поэтому свет фактически не собирается в точке такого изображения и его нельзя получить на экране. Это различие позволяет отличить видимое изображение от реального места схождения света.

Тонкая линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями или одной сферической и одной плоской. Её толщиной по сравнению с радиусами поверхностей пренебрегают, поэтому преломление удобно рассматривать как происходящее в одной плоскости. Такое приближение упрощает построения и расчёты.

Оптическая сила линзы — величина, обратная её фокусному расстоянию: D = 1/F. Фокусное расстояние F измеряют в метрах, а оптическую силу D — в диоптриях (дптр). Эта величина показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет.

Как это устроено

Закон отражения говорит, что угол отражения равен углу падения, причём оба угла отсчитывают от перпендикуляра к поверхности. Поэтому лучи, пришедшие от одной точки предмета к плоскому зеркалу, после отражения расходятся симметрично. Если продолжить отражённые лучи за зеркало, их продолжения пересекутся; там глаз и воспринимает точку изображения. Для каждой точки предмета получается соответствующая точка за зеркалом, поэтому изображение симметрично предмету относительно плоскости зеркала и остаётся мнимым.

Чтобы увидеть равенство размеров и расстояний, рассмотрим лучи от верхнего конца предмета. Луч, падающий на зеркало перпендикулярно, возвращается по той же прямой, а другой луч отражается по закону отражения; продолжения отражённых лучей встречаются за зеркалом. На построении получаются равные прямоугольные треугольники по обе стороны поверхности: расстояние от точки предмета до зеркала равно расстоянию от изображения до зеркала. Такое соответствие сохраняется для нижнего конца и всех промежуточных точек, поэтому высота изображения равна высоте предмета.

Линза меняет ход света, потому что на границах стекла и воздуха лучи преломляются. У собирающей линзы её форма заставляет лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления сближаться и пересекаться в действительном фокусе. У рассеивающей линзы такие лучи, наоборот, расходятся; если продолжить их назад, продолжения пересекутся в мнимом фокусе. Значит, фокус не всегда является точкой, где свет реально собирается.

Положение изображения в тонкой линзе удобно находить по трём главным лучам от верхушки предмета. Луч через оптический центр линзы в принятом приближении не меняет направления; параллельный главной оси после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей выходит так, будто пришёл из фокуса. Луч, направленный через фокус до линзы, после собирающей линзы идёт параллельно оси; у рассеивающей используют соответствующие продолжения. Пересечение действительных лучей или их продолжений показывает верхушку изображения, а основание находится на главной оси.

Расстояния до предмета и изображения связаны формулой тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, b — до изображения, F — фокусное расстояние. Для действительного предмета принимают a > 0; знак b показывает, действительное изображение или мнимое: соответственно b > 0 или b < 0. Знак F положителен у собирающей линзы и отрицателен у рассеивающей. Увеличение Γ = −b/a показывает отношение высоты изображения к высоте предмета с учётом ориентации: минус означает перевёрнутое изображение, а модуль больше единицы — увеличенное.

Сравнение плоского зеркала и тонких линз

Сравнивайте сначала направление лучей: оно показывает, собирает оптика свет или рассеивает. Затем проверьте, где находится фокус и сходятся ли реальные лучи в изображении. Последняя строка относится к линзам и помогает выбрать знаки в расчётах.

Разбор задач

Предмет находится в 1,5 м от плоского зеркала. Найдите расстояние от предмета до его изображения.

Изображение за плоским зеркалом расположено симметрично предмету, поэтому его расстояние до зеркала такое же, как у предмета. Чтобы найти расстояние между предметом и изображением, нужно сложить эти два равных отрезка. В этой задаче достаточно геометрического свойства зеркала, формула тонкой линзы не нужна.

1. Расстояние от предмета до зеркала равно 1,5 м.
2. Расстояние от зеркала до изображения тоже равно 1,5 м.
3. Расстояние между предметом и изображением: 1,5 м + 1,5 м = 3 м.

Ответ: 3 м.

Собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см создаёт изображение предмета, расположенного в 30 см от линзы. Найдите расстояние до изображения и определите его характер.

Для собирающей линзы F положительно, а действительный предмет имеет a > 0. Используем формулу 1/F = 1/a + 1/b и найдём b; важно сначала работать в одинаковых единицах. Положительное b означает, что изображение возникает на противоположной стороне линзы, где сходятся реальные лучи, следовательно, его можно получить на экране.

1. Дано: F = 20 см, a = 30 см.
2. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/b = 1/F − 1/a.
3. Подставим значения: 1/b = 1/20 − 1/30 = 1/60 см⁻¹.
4. Следовательно, b = 60 см. Знак положительный, поэтому изображение действительное.

Ответ: изображение находится в 60 см от линзы; оно действительное.

Предмет высотой 4 см находится в 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Определите положение, высоту и характер изображения.

Сначала формула тонкой линзы даст расстояние b, а затем отношение расстояний позволит найти размер изображения. Для собирающей линзы F = 10 см, для действительного предмета a = 15 см. Знак увеличения определит ориентацию: отрицательное значение соответствует перевёрнутому изображению.

1. Найдём расстояние: 1/b = 1/F − 1/a = 1/10 − 1/15 = 1/30 см⁻¹, значит b = 30 см.
2. Так как b положительно, изображение действительное и находится по другую сторону линзы от предмета.
3. Увеличение Γ = −b/a = −30/15 = −2. Его модуль равен 2, поэтому изображение вдвое выше предмета.
4. Высота изображения равна 4 см · 2 = 8 см; знак увеличения показывает, что оно перевёрнутое.

Ответ: изображение находится в 30 см от линзы, его высота 8 см; оно действительное, перевёрнутое и увеличенное.

Типичные ошибки

Изображение в плоском зеркале иногда помещают на саму поверхность: путают место отражения лучей с местом, откуда они кажутся исходящими. В действительности видимая точка находится за зеркалом на расстоянии, равном расстоянию предмета перед ним. Проверьте построение: соответствующие точки должны быть симметричны относительно плоскости зеркала.

Называть зеркальное изображение действительным неверно: глаз видит его за зеркалом, но сами отражённые лучи туда не приходят. Такая путаница возникает из-за того, что изображение выглядит вполне отчётливым. Проверка простая: экран в месте видимого изображения не поймает сходящиеся лучи, потому что там пересекаются только их продолжения.

Собирающую и рассеивающую линзы нельзя различать лишь по бытовому впечатлению от их формы, а фокусом рассеивающей линзы нельзя считать точку реального схождения света. При рассматривании параллельных лучей рассеивающая линза разводит их, и фокус получается на продолжениях лучей. Проверьте себя, проследив лучи после линзы: сходятся они или расходятся.

Подстановка расстояний в формулу без знаков или с разными единицами приводит к неверному ответу. Ошибка появляется, когда сантиметры смешивают с метрами либо считают F положительным для любой линзы. Перед вычислением укажите выбранные знаки, приведите все расстояния к одним единицам и после решения проверьте знак b и смысл результата.

Связь с другими темами

Для понимания плоского зеркала нужны закон отражения света, понятия светового луча и изображения. Построения опираются на умение проводить лучи и продолжать их за точку отражения, чтобы определить видимое положение мнимого изображения. Эти знания связывают геометрическую оптику с тем, как человек видит предметы.

Фокус и оптическая сила пригодятся при изучении фотоаппарата, глаза, очков и других оптических приборов. В таких устройствах линзы управляют ходом света, чтобы получить изображение нужного положения и размера. Формула тонкой линзы помогает рассчитывать это преобразование.

Что запомнить

• В плоском зеркале изображение мнимое, прямое и равно предмету по размеру.
• Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на расстоянии, равном расстоянию предмета до зеркала.
• Собирающая линза может давать действительное или мнимое изображение в зависимости от положения предмета.
• Рассеивающая линза для действительного предмета создаёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Фокусное расстояние измеряют в метрах, оптическую силу — в диоптриях.
• Оптическая сила линзы равна обратной величине её фокусного расстояния.